2 位取り記数法

2.1 数の表現

通常使われている10進数では、0〜9までの10個の数字を使って、数を表現する。9の次 は10で桁が上がる。10進数以外にいろいろな数の数え方がある。2進数、10進数、16進数 の数の表現を図1に示す。合わせて、桁上がりという考えの無 い漢字や楔形文字、ローマ数字も併記する。桁上がりという考えが無い表記の場合、桁が 上がるたびに、新しい記号が必要であることがわかる。大きな数字を表す場 合、非常に不便である。また、筆算を用いた計算もできない。

図 1: 数の数え方

2.2 現代の数の表現(位取り記数法)

現代の便利な数の表現は桁上がりの考えがあるからこそである。この桁上がりの考えは、ゼロ が発見されたので可能となった。このように桁上がりの考えで、数を示すのが位取り記数 法(place value sysytem)である。10進数は9の次で桁上がりが生じ10となる。0〜9の数字を使っ て、数を表すのである。この10を基数と、0〜9間での数を底と言う。10進数の他、いろい ろの基数の数が考えられるが、コンピューター科学で使われるのは、主に2進数と16進数であ る。それぞれの基数と底を表1に示す。

表 1: 基数と底

数の表現	基数	底
2進法	2	0, 1
10進法	10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
16進法	16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

図1や表1から、自然数の数え方は理解 できたと思う。そうすると相互の変換ができれば、ある程度それを応用することができる ようになる。それぞれの変換を考える前に、数の表記方法について、勉強することにする。 位取り記数法での数の表し方が理解できれば、それぞれの変換が分かるはずである。

例えば、今年は2005年である。10進法の2005の表記はどのような意味があるか?。 これは、次のように解釈する。大げさではあるが、こう解釈すると、他の基数の数字の意 味はっきりする。

$$(2005)_{10}=(2\times 10^3+0\times 10^2+0\times 10^2+5\times 10^0)$$ (1)

括弧の下の10は10進法の意味で、非常に簡単な話である。これさえ、分かれば基数の変換 なんか、怖くない。この式の右辺の$\times$と$10^p$をとって、それを並べたのが位取り 記数法である。

コーヒーブレイク

ゼロがない時代は、大変だった。ゼロが無いと、式(1)の左 辺のような表記は出来ない。その0(ゼロ)が発見されたのは、6世紀頃のインドと言われ ている。西暦0年がないのは、このためである。キリストが生まれた頃は、ゼロがなかっ たのである。

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著者: 山本昌志