2 電流と磁場

2.1 電流とは何か

電磁気学で表れる電流は、2種類ある。荷電粒子の移動から生じるものと、電 場の変化から生じる。前者を伝導電流、後者を変位電流と言う。ここでは、伝 導電流のみを取り扱うことにする。

電線に電池を接続すると、伝導電流が流れる。電池をつなぐことで、電線内に 電場が生じ、自由電子が電場による力を受け移動するのである。この電子の移 動が電流となる。金属中では電子であるが、水溶液中ではイオンの場合もある。 荷電粒子であれば、種類は関係なく、それが移動すれば電流となる。

電流$I$の大きさは、そこを通過する単位時間当たりの電荷量$Q$である。式で表現する と、

$$I=\frac{dQ}{dT}$$ (1)

となる。これで、電荷と電流の関係を示すものである。

• 金属中の電子の移動の速度は非常に遅い。大体の速度を求めよ。

2.2 アンペールの力

平行な2本の電線に同じ方向に電流を流すと、各々の電線が引き付けあう力、 引力が働く(図1)。反対方向に電流を流すと、斥力が働く。 実験の結果、その力は、

$$\delta F=\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I_1I_2}{R_{1,2}}\delta \ell$$ (2)

ということが分かった。ここで、$\delta F$は長さ$\ell$に働く力の大きさ、 $\mu_0$は真空の透磁率、$I_1$と$I_2$は電流、$R_{1,2}$は電流の大きさである。 いずれもスカラー量、ただし、電流については正負の符号で、同方向か反対方 向かを表す。ベクトルを用いた詳細については、静磁場の授業で述べる。

図 1: 電線間に働く引力

この力は、モーターを動かす力となって利用されている。電流を制御すること により、磁場の強さ制御し、モーターの力をコントロールするのである。

真空の透磁率$\mu_0$は、

$$\mu_0=4\pi\times 10^{-7}$$ (3)

と定義されている。力は別の方法で定義されている( $\boldsymbol{F}=m\boldsymbol{a}$)。したがっ て、式(2)を用いると電流を定義できる。すなわち、1[m] 離した平行の電線に $2\times 10^{-7}$[N]の力が働くとき、そこに流れている 電流を1[A]と定義する。表1にmksA単位系(SI単位系)の定義を示 す。

電流が定義できたので、式(1)を用いて、電荷の定義ができる。

表 1: SI基本単位系(物理学辞典より)

物理量	単位の名称	単位記号	定義
長さ	メートル	m	光が(1/299792458)秒間に真空中を伝わる距離。
質量	キログラム	kg	国際キログラム原器の質量。これは1 気圧、最大密度の温度にある水1リットルの質量にほぼ等しい。
時間	秒	s	$^{138}$C $_{\text{S}}$の原子の基底状態の2つの超微細準位の間の遷移に対 応する放射の9192631770周期の持続時間。
電流	アンペア	A	真空中1[m]間隔で平行に置かれた無限に小さい円断面積を有する無限に長 い2本の直線導体上のそれぞれを流れ、これらの導体の1[m]ごとに $2\times 10^{-7}$[N] の力を及ぼしあう一定の電流。
熱力学温度	ケルビン	K	水の三重点の熱力学温度の1/273.16
物質量	モル	mol	0.012[kg]の$^{12}$Cの中に存在する原子の数と同数の要素体を含む系の物質 量
光度	カンデラ	cd	周波数が $540\times 10^{12}$Hzの単色放射を放出し、かつ、ある方向での 放射強度が(1/683)[W/sr]であるような光源の、その方向での強度。

2.3 磁場

電荷が作る場は、その部分に働く力から定義できた。単位電荷の受ける力の方 向と大きさが電場である。同じような考え方で、電流が作る場、磁場というも のを考えることができる。単純な例として無限に長い電線が作る磁場を考えよ う。図1のように、平行に置かれた2本の電線を考える。一方 の電線には、電流$I$が流れており、それが$R$離れた位置に作る磁場を求める。 $R$離れた位置に試験電流$I^\prime$を置いたとき、それに、単位長さあたり$F$と いう力が加わったとする。そのときの磁場$B$の大きさとの関係は、

$$F=I^\prime B$$ (4)

となる。これから、磁場$B$の大きさが分かる。これが、磁場の定義である。 実際、磁場を求めるためには、電流を置いて、それが受ける力を測定するしか ないのである。

本当は、力$F$と磁場$B$、電流$I$はベクトルであるが、ここではスカラーで 書いている。左辺はベクトル、右辺にベクトルが掛け算で出てきているので、 ベクトル積が関係することは想像できる。これについては、後の授業で詳細に 行うので、ここでは気にしないで欲しい。

磁場$B$のことを、磁束密度という。式(4)から、磁束密度の 単位は[ $N\cdot m^{-1} \cdot A^{-1}$]となる。MKSA単位系で書くと、 [ $kg\cdot s^{-2}\cdot A^{-1}$]となる。通常はこれらに代わって、 [$Wb/m^2$]や[T]という単位が使われる。$Wb$はウェーバと$T$はテスラと読む。

• 磁場の単位が、mksA単位で[ $kg\cdot s^{-2}\cdot A^{-1}$]となること を示せ。

この磁場の定義式(4)と式(2)から、長 い電線が作る磁場は、

$$B=\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I}{R}$$ (5)

となる。磁場の方向は、図2の磁束線の接線方向である。な ぜ、そのような方向を向くかは、後の講義で示す。

図 2: 磁場

2.4 磁場を図に表す方法

この磁場を表す方法は、電場を表す方法と同様の方法がある。それぞれの方法 を、図3と4に示す。これは、直 径6[cm]の無限に長い銅線に電流を1[A]流し、一辺200[cm]の鉄でその銅線を囲っ たときの磁場の様子である。

図3は、その点での磁場のベクトルが矢印で示している。 4の方は、磁束線を表し、磁束線の接線が磁場のベク トルの方向である。そして、磁束線の密度が磁場の強さを表す。

図 3: ベクトルの矢印を使った表現 図 4: 磁束線を使った表現

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著者: 山本昌志