3 電荷と電場

電気で最初に勉強するのは、なんといってもクーロンの法則(Coulomb law)である。クーロンの法則については、教科書の3章真空中の静電場のところで詳しく述べるので、法則そのものについては、さらっと聞いて欲しい。その代わり、基本的な物理の考え方

ベクトルとスカラー
作用反作用の法則
単位
場
重ね合わせの原理

を理解して欲しい。

3.1 クーロンの法則

教科書では、クーロンの法則は

$\displaystyle \boldsymbol{F}=k\frac{Q_1Q_2}{R_{1,2}^2}\frac{\boldsymbol{R}_{1,2}}{R_{1,2}}$

(1)

と書いている。これは、図1のように表すことができる。この式が言っていることは、電荷の積が負の場合引力、正の場合斥力となる。力の大きさは距離の2乗に反比例し、電荷の積に比例する。

クーロンの法則について、次のことについて考察してみよう。

世の中に電荷が2つしかないとする。この場合、それぞれの電荷の大きさ調べる手立てはあるか?。
それでは、電荷が3つある場合はどうか?
電子の電荷は $e=-1.602892\times 10^{-19}$ [C]である。電子の電荷がなぜ負になっているか、考えてみよう?
クーロン力は、距離の-2乗に比例する。なぜ、-2という丁度の数字なのか?。これは必然か?。-2.0001では不都合なのか?
クーロン力は、各々の電荷の積の1乗に比例する。なぜ、1という丁度の数字なのか?。これは必然か?。1.00001では不都合なのか?
クーロン力の方向は、2つの電荷の延長線上である。延長線上である必然はあるか?。他の方向を向くとどのような不都合があるか?

**図 1:** クーロン力
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/Coulomb_low.eps}$

3.2 ベクトルとスカラー

数式を記述する場合、右辺がスカラー量であれば左辺はスカラー量でなくてはならない。右辺がベクトル量であれば、左辺はベクトル量でなくてはならない。電磁気学を学ぶときには、どれがスカラーでどれがベクトルか良く考えるのがコツである。

それでは、式(1)について、以下を確認せよ。

そもそもベクトル(vector)とは?。スカラー(scalar)とは?。分かりやすい例を挙げよ
ベクトルは方向と大きさを持つと言われる。方向と大きさはどのように表現できるか?
式(1)で使われている変数をベクトルとスカラーに分けよ。
左辺にある $\boldsymbol{R}_{1,2}/R_{1,2}$ は、何を表しているか?
$R_{1,2}^2$ と $\boldsymbol{R}_{1,2}$ と $R_{1,2}$ の関係は、どうなっているか?
なぜ位置を表すのに、位置ベクトル(position vector)というベクトル量が使われるのか?。そもそも、位置はベクトルなのか?

これで分かったと思うが、太文字で書かれているのベクトルである。教科書もそうなっているし、今後私が渡すプリントもそのように表現する。

3.3 作用・反作用の法則

ベクトル $\boldsymbol{R}_{1,2}$ をそれぞれの電荷の位置ベクトル $\boldsymbol{r}_1$ と $\boldsymbol{r}_2$ を用いて表すと、

$\displaystyle \boldsymbol{R}_{1,2}=\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1$

(2)

となる。これを利用して、クーロンの法則を書き換えると、

$\displaystyle \boldsymbol{F}=k\frac{Q_1Q_2}{\vert\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r... ...boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1)}{\vert\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1\vert}$

(3)

となる。この $\boldsymbol{F}$ は2の電荷に働く力である。次に1の電荷に働く力 $\boldsymbol{F}^\prime$ を求めよう。1の電荷についてもクーロンの法則が成り立つはずであるから、この力を求めるためには式(3)の添え字の1と2を入れ替えればよい。したがって

$\begin{equation*}\begin{aligned}\boldsymbol{F}^\prime &=k\frac{Q_2Q_1}{\vert\bol... ...r}_1)}{\vert\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1\vert} \end{aligned}\end{equation*}$

である。

式(3)と式(4)を比べると、

$\displaystyle \boldsymbol{F}=-\boldsymbol{F}^\prime$

(5)

の関係があることが分かる。この式は、2つの電荷に働く力の大きさが等しく、向きが反対であると言っている。これは、作用・反作用の法則と呼ばれるものである。

数学では単位を気にすることは無いが、自然科学では単位は非常に重要である。自然科学において、等号や不等号で表せる関係式の両辺の単位は、全く同じである。単位の異なるもの、たとえば面積と質量は比較できないからである。それと同じように、加算や減算を行う場合、その2つの演算対象も同じ単位でなくてはならない。一方、積や除算の場合は、演算対象の単位は異なっても良い。導いた式が正しいか否か調べる場合、まずは単位を確認することから始めよ。

教科書に書かれているように、比例係数

$\displaystyle k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$

(6)

と、普通は書かれる。真空の誘電率の値とその単位は

$\displaystyle \varepsilon_0=\frac{10^7}{4\pi c^2}=8.854\times 10^{-12} \qquad \left[\frac{C^2}{N\cdot m^2}\right]$

(7)

である。

クーロンの法則から、この真空の誘電率の単位を導け

3.5 電場

3.5.1 遠隔作用

遠隔作用については、教科書に書いてあるとおりである。図 1の電荷1が電荷2に及ぼす力が、媒介が無くても伝わると考えるのが遠隔作用である。この解釈は受け入れがたく、通常は使われない。ニュートンが万有引力の法則を発表したとき、それは遠隔作用で、なかなか受け入れがたかったようである。何もない真空を通過して、力が伝わることに人々は難色を示したのである。日常、見たり感じたりする力は、何かの媒質が介在するものである。液体や固体、気体を通して力は感じるものである。でも、当時は磁石による力は分かっていて、それは遠隔作用に思える。人々はどのように考えていたのか興味がある²。

気とか超能力とか言う人は、遠隔作用を支持しているように思えるが、いかがなものか。

3.5.2 近接作用

近接作用と電場の考え方は、教科書に書いてあるとおりである。これが、現代的な考え方である。

図1の電荷が直接に作用するのではない。まずは、その近くの空間の物理的な状態を変化させ、それ変化が次々と伝わり、に達した時点で、それに影響を及ぼす。は空間(場)に作用を及ぼし、は空間から作用を及ぼされるのである。これは、明らかに遠隔作用ではなく、近接作用と呼ばれる。これが場の考え方である。

観測される結果が遠隔作用と同じであれば、ただの言い換えに過ぎない。遠隔作用と近接作用の決定的に異なることがある。それは、作用が伝わる時間である。遠隔作用では瞬時に影響が伝わるが、近接作用では有限の時間が必要である。観測の結果、影響が伝わる速度は、光速度と同じである。

それでは、クーロン力を伝える電場というものを考える。ある場所に電荷 $Q^\prime$ を置く。すると、その電荷は $\boldsymbol{F}$ の力を受けたとする。場の考え方では、そこの電場 $\boldsymbol{E}$ が作用して、力が生じたとする。すなわち、

$\displaystyle \boldsymbol{F}=Q^\prime \boldsymbol{E}$

(8)

である。これが電場の定義と考えても良い。

電場の定義とクーロンの法則を用いて、電荷が作る電場を表す式を求めよ。

3.6 重ね合わせの原理

クーロンの法則、式(1)から、電荷の作用は加算できることが分かる。これは、2つの電荷に作用するクーロン力は、他の電荷に影響されないことを意味する。重ね合わせの原理の例として、3つの電荷がある場合を考える。1番目の電荷に働く力は、2番目からの影響と3番目からの影響を足し合わせたものになる。すなわち、

$\displaystyle \boldsymbol{F}_1=k\frac{Q_2Q_1}{R_{2,1}^2}\frac{\boldsymbol{R}_{2,1}}{R_{2,1}}+ k\frac{Q_3Q_1}{R_{3,1}^2}\frac{\boldsymbol{R}_{3,1}}{R_{3,1}}$