7 それぞれの方法の比較

7.1 解への収束速度

図8に、これまでに示した4つの方法の解への近 づき具合を示す。ニュートン法と割線法が収束が早いことが分る。先に示した 通り二次収束になっている。一方、二分法とはさみうち法は一次収束であるこ とがグラフより分かる。二分法は、10回の計算で、 $2^{-10}=1/1024$程度になっ ていることに気づいてほしい。はさみうち法は、2分法を改良したにもかかわ らず、それよりも収束の速度が遅くなっている。これは、初期値が悪いためで、 それを改善すれば、2分法よりも早く収束するはずである。

ニュートン法や割線法は収束が早く良さそうであるが、次に示すように解へ収束 しない場合があり問題を含んでいる。問題に応じて、計算方法を使い分けるべ きである。

図 8: 計算回数(反復回数)と誤差の関係

7.2 ニュートン法の問題点

アルゴリズムから、2分法とはさみうち法は解に必ず収束する³。これらの 方法は、収束のスピードが遅いのが欠点である。一方、ニュートン法と割線法 は収束するとは限らない。初期条件に依存する場合がある。厳密にその条件を 求めるのは大変なので、初期条件により収束しない実例を示すことにする。

非線形方程式

$$3\tan^{-1}(x-1)+\frac{x}{4}=0$$ (14)

を計算することを考える。これは、初期値のより、収束しない場合がある。例 えば初期値$x_0=3$の場合、図9のように収束しない ⁴。これを初期値$x_0=2.5$にすると図 10のように収束する。

このようにニュートン法は解に収束しないで、振動する場合がある。こうなる と、プログラムは無限ループに入り、永遠に計算し続ける。これは資源の無駄 遣いなので、慎むべきである。通常は、反復回数の上限を決めて、それを防ぐ。 ニュートン法を使う場合は、この反復回数の上限は必須である。

ニュートン法で収束する必要条件が分かればこの問題は解決する。しかし、そ れを探すのは大変である。というか私には分からない。一方、十分条件は簡単 にわかる。閉区間$[a, b]$で、 $f(a)<0, f(b)>0$ のような関数を考える。 このとき、

• 常に $f^\prime(x)>0, f^{\prime\prime}(x)>0$で、初期値が$x_0=b$ の場合
• 常に $f^\prime(x)>0, f^{\prime\prime}(x)<0$で、初期値が$x_0=b$ の場合

は、必ず収束する。ニュートン法の図から明らかである。 $f(a)>0, f(b)<0$ の場合は、$f(x)$に-1倍すれば、先の十分条件を考えることができる。

実際には収束しない場合のほうが稀であるので、ニュートン法は非常に強力な 非線型方程式の解法である。ただ、反復回数を忘れないことが重要である。ま た、二分法と組み合わせて使うことも考えられる。

図 9: ニュートン法で解が求まらない場合

図 10: ニュートン法で解が求まる場合

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志