3 シンプソンの公式

台形公式の考え方は簡単であるが、精度はあまりよくない。そこで、よく似た考え方で精 度が良いシンプソンの公式を説明する。台形公式は、分割点の値を一次関数(直線)で近似 を行い積分を行った。要するに折れ線近似である。ここで、1次関数ではなく、高次の関 数で近似を行えばより精度が上がることは、直感的に分かる。

2次関数で近似を行うことを考える。2次関数で近似するためには、3点必要である。3つの 分点をそれぞれ、 $ (x_j, x_{j+1}, x_{j+2})$とする。そして、この2次関数を$ P(x)$と する。$ P(x)$はラグランジュ補間に他ならないので、


となる。図3に示すとおりである。
図 3: 元の関数を区間 $ [x_j,x_{j+2}]$を2次関数で近似する
\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/simpson.eps}

これを、区間 $ [x_j, x_{j+2}]$で積分する。紙面の都合上、式 (11)の右辺を各項毎に積分を行う。まず、右辺第1項で あるが、それは以下のようになる。

\begin{equation*}
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\begin{aligned}\text{式(\ref{eq:sim...
...i^2}{2}+2h^2\xi\right]_0^{2h} &=\frac{h}{3}f(x_j) \end{aligned}\end{equation*}

同様に、第2,3項を計算すると

式(11)右辺第2項の積分 $\displaystyle =\frac{4h}{3}f(x_{j+1})$ (12)
式(11)右辺第3項の積分 $\displaystyle =\frac{h}{3}f(x_{j+2})$ (13)

となる。以上より、近似した2次関数$ P(x)$の範囲 $ [x_j, x_{j+2}]$の積分は、

$\displaystyle \int_{x_j}^{x_{j+2}}P(x)dx =\frac{h}{3}\left\{f(x_j)+4f(x_{j+1})+f(x_{j+2})\right\}$ (14)

となる。

これは、ある区間 $ [x_j, x_{j+2}]$の積分で、その巾は$ 2h$である。区間$ [a, b]$にわ たっての積分$ S$は、式(15)を足し合わせればよい。ただし、 $ j=0,2,4,6$と足し合わせる。

\begin{equation*}\begin{aligned}S&=\frac{h}{3}\left\{f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\right...
...\left.\cdots+2f(x_{N-2})+4f(x_{N-1})+f(x_N)\right\} \end{aligned}\end{equation*}

これが、シンプソンの公式と呼ばれるもので、先ほどの台形公式よりも精度が良い。精度 は、$ N^4$に反比例する。

この式から、分割数$ N$は偶数でなくてはならないことがわかる。これに注意して、プロ グラムを作成しよう。



ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志
Yamamoto Masashi
平成17年1月25日


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