1 はじめに

数学の授業で学習したように、どんな複雑な関数でも微分は可能である。一方、積分とな るとそうはいかない。積分の学習では、どのようにして積分を行うかといういろいろなテ クニックを学んだはずである。微分に比べれば、圧倒的に計算が難しいことも経験済みで あろう。

例えば、ガウス分布を表す以下の関数を考える。

$$f(x)=e^{-x^2}$$ (1)

この関数の微分すること(導関数)は、簡単で

$$f^\prime(x)=-2xe^{-x^2}$$ (2)

となることは説明の必要がないであろう。今まで学習してきたように、初等関数で表すこ とができる関数の微分は、初等関数で表現できるのである。要するに微分(導関数)の値を 求めたいときには、人間が実際に微分をして、初等関数を計算すればよいのである。

一方、積分となるとそうはいかない。先の式(1)の 不定積分を初等関数で表すことができない。初等関数からできた関数であろうとも、不定 積分は初等関数の範囲を超えることがある。だからといって、定積分の値(数値)が不定と いうわけではない。

いろいろ計算をしていると、不定積分はできないが、定積分の値が必要な場合がしばしば 訪れる。そのときに、ここで学習する定積分を数値計算で求めるテクニックが使われる。

定積分は、図1に示すように面積の計算になる。したがって、直感 的にわかりやすく、アルキメデスの時代からあった。一方、微分法はニュートンの時代と すると、およそ2000年の開きがあるのである。

図 1: 定積分と面積

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著者: 山本昌志