1 フーリエ級数

連立方程式の最後の問題は、フーリエ級数に関係した問題です。そこで、その問題について簡単に解説しておきます。

1.1 フーリエ級数とは

フーリエ級数は、フーリエ(1768-1830 フランス)が熱伝導の方程式を研究しているときに発見した級数です。今は、もっぱら波(振動も波と考える)の問題に適用されています。

フーリエ級数とは、つぎのように区間[ $-\pi,\pi$ ]で定義された任意の関数を $\sin$ と $\cos$ で展開したものです。

$\displaystyle f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nx+\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin nx$

(1)

この式が正確に成り立つために

に課せられる条件は、

はたかだか有限個の有限な不連続点しか持たず、また有っても有限個の極値、極大値または極小値を持つことです。科学技術で用いられる普通の関数はこの条件を満足します。有限個の有限な不連続点も許されのです。これは、非常に驚くべきことです。今までほぼ無視してきた不連続点が取り扱えるというのは面白いことです。

このように関数を展開することはいろいろな場面で使われます。皆さんは、フーリエ級数以外にも冪乗に展開するテイラー展開というものをすでに学習しているはずです。場面に応じて都合の良い展開を使えばよいのです。

本当に任意の関数が、式(1)に展開できることの証明は数学の教科書に譲ることにして、その展開の係数、フーリエ係数とを求める方法を示します。これこそが、フーリエ級数やフーリエ変換、あるいはコンピューターによる離散フーリエ変換(DFT)または高速フーリエ変換(FFT)の実際の計算です。

この展開係数の理論的な式は、三角関数の次の性質を使いことにより求めることができます。ただし、とは1以上の整数とします。

$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\cos mx \cos nx =\begin{cases}0 & m \neq n\\ \pi & m=n\\ \end{cases}$

(2)

$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\sin mx \sin nx =\begin{cases}0 & m \neq n\\ \pi & m=n\\ \end{cases}$

(3)

$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\cos mx \sin nx =0$

(4)

$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\cos nx =0$

(5)

$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx =0$

(6)

まずは、

のを計算します。そのために、式(1) の両辺を区間[ $-\pi,\pi$ ]を

で積分すればよく、

$\begin{equation*}\begin{aligned}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx &= \int_{-\pi}^{\pi}\fra... ...{\infty}b_n\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx dx\\ &= \pi a_0 \end{aligned}\end{equation*}$

となります。これから、

$\displaystyle a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$

(8)

と計算できます。 $\frac{a_0}{2}$ は、関数

の区間[ $-\pi,\pi$ ]の平均値になっていることに気が付いてほしい。これを技術者は直流成分と言います。

つぎに、を求めよう。式(1)の両辺に $\cos mx$ を書けて、区間[ $-\pi,\pi$ ]をで積分します。すると、

$\begin{equation*}\begin{aligned}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos mx dx &= \int_{-\pi}^{... ...b_n\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx \cos mx dx\\ &= a_m \pi \end{aligned}\end{equation*}$

となります。これから、直ちに

は計算できて、

$\displaystyle a_n$

$\displaystyle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx dx$

$\displaystyle (n=1,2,3,\cdots)$

(10)

となります。ここで、この式と式(8)を比べます。すると、

$\displaystyle a_n$

$\displaystyle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx dx$

$\displaystyle (n=0,1,2,3,\cdots)$

(11)

となることが分かります。式がひとつ節約できたことになります。同様に、

は、両辺に $\sin mx$ をかけて、積分を行います。すると、

$\begin{equation*}\begin{aligned}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin mx dx &= \int_{-\pi}^{... ...b_n\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx \sin mx dx\\ &= b_m \pi \end{aligned}\end{equation*}$

となります。したがって、

は、

$\displaystyle b_n$

$\displaystyle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin mx dx$

$\displaystyle (n=1,2,3,\cdots)$

(13)

と求めることができます。この式と式(11)からフーリエ係数が計算でき、式(1)の展開が可能となるわけです。

これまでは、関数の区間[ $-\pi,\pi$ ]としてきましたが、式 (1)はその区間の外側でも計算できます。外側の値が気になるところですが、これは三角関数の性質により直ちにわかります。フーリエ級数を形成する三角関数は、 $2\pi$ の周期を持ちますので、フーリエ級数も同じ周期を持つことになります。したがって、区間[ $-\pi,\pi$ ]の形がその外側で周期的に現れることになります。波と一緒です。