4 論理式による表現

真理値表があると、それから論理式を求めることができるのは学習したとおり である。学習した4通りの方法を示し、それが元の真理値表と全く同一である ことを示す。

4.1 主加法標準形

真理値表の値が1になるものに着目すると、主加法標準形を得ることができる。 表2では、

$$Z=\bar{A}\cdot\bar{B}\cdot C+ \bar{A}\cdot B\cdot\bar{C}+ \bar{A}\cdot B\cdot C+ A\cdot B\cdot \bar{C}$$ (1)

となる。

それでは、この論理式が元の真理値表と全く同じであるか確かめる。そのため に、すべての入力条件で、この式の各項を計算して、最後にその論理和を取る ことにより、この式を評価する。その結果は、表の通りである。この表の$Z$は、元の真理値表である表の$Z$と同じである。したがって、式1は、元の 真理値表と全く同じであることがわかる。当たり前のことである。

表 3: 主加法標準形を確かめる真理値表

$A$	$B$	$C$	$\bar{A}\cdot\bar{B}\cdot C$	$\bar{A}\cdot B\cdot\bar{C}$	$\bar{A}\cdot B\cdot C$	$A\cdot B\cdot \bar{C}$	$Z$
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	1	0	0	0	1
0	1	0	0	1	0	0	1
0	1	1	0	0	1	0	1
1	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	0	0	0	0	0
1	1	0	0	0	0	1	1
1	1	1	0	0	0	0	0

4.2 主乗法標準形

真理値表の値が0になるものに着目すると、主乗法標準形を得ることができる。 表2では、

$$Z=(A+B+C)\cdot (\bar{A}+B+C)\cdot (\bar{A}+B+\bar{C})\cdot (\bar{A}+\bar{B}+\bar{C})$$ (2)

となる。

同様に、この論理式も元の真理値表と全く同じであるか確かめる。同じように、 すべての入力条件で、この式の各項を計算して、最後にその論理和を取ること により、この式を評価する。その結果は、表の通りである。この表の$Z$は、元の真理値表である表の$Z$と同じである。したがって、式1は、元の真理 値表と全く同じであることがわかる。これも、当たり前のことである。

表 4: 主乗法標準形を確かめる真理値表

$A$	$B$	$C$	$A+B+C$	$\bar{A}+B+C$	$\bar{A}+B+\bar{C}$	$\bar{A}+\bar{B}+\bar{C}$	$Z$
0	0	0	0	1	1	1	0
0	0	1	1	1	1	1	1
0	1	0	1	1	1	1	1
0	1	1	1	1	1	1	1
1	0	0	1	0	1	1	0
1	0	1	1	1	0	1	0
1	1	0	1	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	0	0

4.3 カルノー図

次にカルノー図を使って、論理式を求めよう。真理値表の$Z=1$の部分をカル ノー図の表に書き込んで、それを適当に囲めばよいのである。このようにして 出来上がったカルノー図は、図2のようになる。

図 2: カルノー図による表現

ここまでできれば簡単で、後は共通項を取り出して、論理和でくくればよい。 すると、

$$Z=\bar{A}\cdot C+B\cdot\bar{C}$$ (3)

が得られる。

表 5: カルノー図による展開を確かめる真理値表

$A$	$B$	$C$	$\bar{A}\cdot C$	$B\cdot\bar{C}$	$Z$
0	0	0	0	0	0
0	0	1	1	0	1
0	1	0	0	1	1
0	1	1	1	0	1
1	0	0	0	0	0
1	0	1	0	0	0
1	1	0	0	1	1
1	1	1	0	0	0

4.4 クワイン・マクラスキー法

時間が無くてこの部分の用意ができなかった。今までと同じになるはずである。 興味のある人は確かめよ。
ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志