2 Mathematcaのフーリエ変換

マニュアル [2]から、Mathematicaのフーリエ変換の定義を調べる。それ によると、デフォルトの設定の場合の離散フーリエ変換と逆離散フーリエ変換は

$$v_s =\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{r=1}^{n}u_re^{2\pi i(r-1)(s-1)/n} 離散フーリエ変換$$ (26)

$$u_r =\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{s=1}^{n}v_se^{-2\pi i(r-1)(s-1)/n} 逆離散フーリエ変換$$ (27)

となっている。ここで、$v_s$はフーリエ係数、$u_r$はデータの並び、$n$はデータ数で ある。

1節で示した離散フーリエ変換は、$N$個のデータの並び が、 $0,\,1,\,2,\,\cdots,\,N-1$のように0から始まっていた。それに対して、 Mathematicaの場合は、$1$から始まるっている。Mathematicaのフーリエ変換を調べるた めに、その並びを0から数え始めること

$$v_s^\prime =\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{r=0}^{N-1}u_r^\prime e^{2\pi irs/N} 離散フーリエ変換$$ (28)

$$u_r^\prime =\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{s=0}^{N-1}v_s^\prime e^{-2\pi irs/N} 逆離散フーリエ変換$$ (29)

となる。こうなると、式(24)や(25)とほとんど同じ であることが分かる。前節とMathematicaのフーリエ変換で異なる部分は、

• 前節の結果では、和の前の係数が $1/N$ や $1$ になっている。それに対して、 Mathematicaでは $1/\sqrt{N}$ となっている。
• 指数関数の符号が前節とMathematicaで異なる。

である。この違いは、Mathematicaでは基底関数として

$$\left\{ \frac{1}{\sqrt{N}},\, \frac{e^{-i\omega t}}{\sqrt{N}},\, ... ...\omega t}}{\sqrt{N}},\, \cdots,\, \frac{e^{-(N-1)i\omega t}}{\sqrt{N}} \right\}$$ (30)

としているためでる。本質的な違いはなにもない。

以上をまとめると、Mathematicaの離散フーリエ変換は、次のようになる。

• 離散フーリエ変換の結果の $v_s$ は、 $(s-1)\omega$ の角振動数の振幅を表す。 $(s-1)/T$ の振動数の振幅と言っても良い。
• 逆離散フーリエ変換の結果の $u_r$ は、 $(r-1)\Delta t$ の時の値を表す。

ただし、 $\omega=\frac{2\pi}{n\Delta t}$である。また、Mathematicaを使って離散フー リエ変換を行う場合、$\Delta t$ の情報はMathematicaには伝わらないので、ユーザーが それを把握して、周波数に直す必要がある。
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著者: 山本昌志