%====================================================================
% �H�c�H�ƍ������w�Z�@�d�C�H�w�ȁ@���Ƙ_��
%
%
% 
% 
%====================================================================
\documentclass[a4paper,11pt]{jreport}
\usepackage{akithesis}
\usepackage{html}
\usepackage[dviout]{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{ascmac}
\usepackage{float}
\usepackage{lgrind}
%\usepackage{listings}
%\usepackage{jlisting}
\usepackage{verbatim}
%
\newcommand{\vm}[1]{\boldsymbol{#1}}
\newcommand{\hugesymbol}[1]{\mbox{\strut\rlap{\smash{\Huge$#1$}}\quad}}
\newcommand{\grad}[1]{\nabla #1}
\renewcommand{\div}[1]{\nabla\cdot #1 }
\newcommand{\rot}[1]{\nabla\!\times\! #1}
\newcommand{\pdiff}[3]{
 \if 1#1 \frac{\partial #2}{\partial #3}
 \else \frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}\fi
}
% �ǉ�:
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\input{jdummy.def}

%
%====================================================================
\title{�L���v�f�@�ɂ��\\�����g���U���[�h��͂̊�b�I����}
\author{���X�؁@��}
\advisor{�R�{�@���u}{������}            %% �w������{�� ��}{�E}
\heiseiyear{16}                       %% �����̔N�x
\date{2005�N 3��}                     %%���t
%====================================================================
\begin{document}
\maketitle 
%
%====================================================================
%           �A�u�X�g���N�g(�T�v)
%====================================================================
\begin{abstract}
%�v�|�������ɏ����B�����́A���ׂāA�_�����ł�����������A�Ō�ɏ����΂悢�ł��낤�B
%
�@�{�����ł́A�L���v�f�@��p���č����g���U���[�h�̉�͂��s�����߂̃v���O 
�������쐬�����B��͑Ώۂ́A�����󓴂Ȃǂ̋��U�󓴂ł���B���̂悤�ȋ� 
����݌v����ꍇ�ɁA�󓴓����̓d����⋤�U���g�����v�Z���邱�Ƃ���Ϗd 
�v�ƂȂ�B

�󓴓��̓d����́A�}�N�X�E�F���̕������ɂ���ċL�q�����B�󓴓��͐^���
����A�܂��d�ׂ�d���͑��݂��Ȃ��Ƃ��������̉��ł́A����̓w�����z���c��
����
\begin{align*}
 \nabla^2 \vm{H} + \lambda^2 \vm{H} = 0
\end{align*}
�ɂȂ�B $\vm{H}$ �͎����\����Ԃ̊֐��A $\lambda$ �͌ŗL�l�ł���B��
�͂���̈�͎��Ώ̍\���ł��邩��A�㎮�̔������Z�q�ɉ~�����W�n��K�p����
�K�v������B����ɁA��͂��郂�[�h��P�ɂ�TM���[�h�Ƃ���ƁA���̔Ċ֐��� 
\begin{align*}
 F[H_\theta]
 = \int\left[\left(\pdiff{1}{H_{\theta}}{z}\right)^2+\left(\pdiff{1}{H_{\theta}}{r}\right)^2
 + 2\frac{H_{\theta}}{r}\pdiff{1}{H_{\theta}}{r}
 + \left(\frac{H_{\theta}}{r}\right)^2
 - \lambda^2 H_{\theta}^2\right] 2\pi r drdz
\end{align*}
�ƂȂ�B���ۂɗL���v�f�@��p���Čv�Z����ꍇ�́A�v�Z�̈���O�p�`�̃��b�V
���ŋ�؂�B�����āA��Ɏ������Ċ֐����e�O�p�`�v�f�ɓK�p���Ȃ���v�Z����B
���̂悤�ɂ��ė��U�����ꂽ�Ċ֐��̑�1�ϕ���0�Ƃ��鎮��
\begin{align*}
 \vm{Ax} = \lambda\vm{Bx}
\end{align*}
�Ƃ����`�̈�ʉ��ŗL�l���ɊҌ������B�����ł͂��̈�ʉ��ŗL�l������
�����z�@�ɂ���Čv�Z���A$H_{\theta}$ ����� $\lambda$ �����߂��B

�쐬�����v���O������p����KEK�̉����󓴂̋��U���[�h���v�Z�����B�v�Z�̌�
�ʁA����̕��z�����߂邱�Ƃ��ł����B�܂��A�v�Z�ɂ�苁�߂�ꂽ���U���g��
��500.0MHz�ł������B���茋�ʂ�499.5MHz�ł������̂ŁA�悢���x�Ōv�Z�ł���
���邱�Ƃ��킩��B

�{�����ɂ����āA�L���v�f�@�ɂ�苤�U���[�h���v�Z�ł���悤�ɂȂ������A��
��ɐ��x���グ�邽��2���v�f�̓������l����K�v������B�܂��A��ݔg�݂̂�
�炸�i�s�g�̖�����舵����悤�ɂȂ�ƁA���̉��p�͈͂��L����B
\end{abstract}
%====================================================================
%           �ڎ�
%====================================================================
\tableofcontents
%
%
%====================================================================
\chapter{���_}
%====================================================================
% �ȉ��̂��Ƃ��L�q����B
% \begin{itemize}
%  \item �����̔w�i
%  \item �����ړI
%  \item �ߋ��̌���
%  \item �����ł̌������@
% \end{itemize}
%====================================================================
�����󓴂̂悤�ȋ��U�󓴂�݌v����ꍇ�A���̋��U���[�h�̉�͂͏d�v�ł���B
�R���s���[�^�V�~�����[�V�����ɂ�肻�̋��U���[�h�̎��g���Ɠd���ꕪ�z���v
�Z���A�󓴌`��̍œK�����s�����ƂɂȂ�B�{�����ł́A���Ώ̍\���̋��U��
���ɂ������ݔg���A���Ȃ킿�ŗL�U��������ы󓴓��ɕ��z����d����̋�
�x��L���v�f�@�ŋ��߂��b�I�Ȍ������s���A�v���O�������쐬�����B

����́A�ȉ��Ɏ��������󓴂̉�͂��s�����B

\vspace{1cm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \includegraphics*[scale=1.0]{fig/PF_cavity.eps}
  \caption{���Ώ̋��U�󓴁iKEK��PF�̋󓴁j}
  \label{fig:pf_cavity}
 \end{center}
\end{figure}

���̋󓴂͒��a��47cm�ŁA���Ώ̍\���ɂȂ��Ă���B�܂��A���U���g����500MHz
���x�ł���B

%####################################################################
\chapter{�L���v�f�@�ɂ��d�����̗͂��_}
%####################################################################
%====================================================================
\section{�}�N�X�E�F���̕�����}
%====================================================================
%�}�N�X�E�F���̕���������A�������ۂ��ĉ����ׂ����������L�q����B
%
%�Q�ƕ���������ꍇ�́A���̂悤�ɏ����B���Đ�������
%�u���E�g���̂��߂̗L���v�f�@�̊�b�v~\cite{���Đ���_���g���L���v�f�@�̊�b}
%�ɏڂ���������Ă���B
%====================================================================
�����ł͎��Ώ̍\���̋��U�󓴓��̋��U���[�h�̓d����̕������������B���̏�
���A�����͐^��ŁA�����ň͂܂ꂽ��ԂɂȂ�B���R�A�����̓d����̓}�N�X�E
�F���̕������ŋL�q�����B�������A�����ɂ͓d�ׂ��d���������Ƃ����������t
����A$\rho=0,\,\vm{j}=0$�ƂȂ�B
%
\begin{align}
 &\div{\vm{D}}=0                      \label{eq:Maxwell_div_D} \\
 &\div{\vm{B}}=0                      \label{eq:Maxwell_div_B} \\
 &\rot{\vm{E}}= -\pdiff{1}{\vm{B}}{t} \label{eq:Maxwell_rot_E} \\
 &\rot{\vm{H}}= \pdiff{1}{\vm{D}}{t}  \label{eq:Maxwell_rot_H}
\end{align}
%
�܂��A�U�d���Ɠ������͈��ŁA���ꂼ��$\varepsilon_0,\,\mu_0$�ƂȂ�B��
���āA
%
\begin{align}
 \vm{D}=\varepsilon_0\vm{E} \label{eq:D_eq_eps_E} \\
 \vm{B}=\mu_0\vm{H}         \label{eq:B_eq_mu_H}
\end{align}
%
�̊֌W������B��(\ref{eq:Maxwell_div_D})�`(\ref{eq:Maxwell_rot_H})�͘A��
�̕Δ����������Ȃ̂ŁA�v�Z���₷���`�ɒ����B

�܂��A����̕����������߂�B���̂��߂ɁA��(\ref{eq:Maxwell_rot_H})�̗���
�ɉ�]�̉��Z�q����p������B��������ƁA
%
\begin{align}
 \rot{\rot{\vm{H}}}
 &=\rot{\pdiff{1}{\vm{D}}{t}} \nonumber \\
 &=\pdiff{1}{}{t}\left(\rot{\varepsilon_0\vm{E}}\right) \nonumber \\
 &=-\varepsilon_0\pdiff{1}{}{t}\left(\pdiff{1}{\vm{B}}{t}\right)
 \nonumber \\
 &=-\mu_0\varepsilon_0\pdiff{2}{\vm{H}}{t}
\end{align}
%
�ƂȂ�B����́A�g���������ł���B�d���g�̑��x�͌���$c$�ŁA���̕�������
��
%
\begin{align}
 \mu_0\varepsilon_0=\frac{1}{c^2}
\end{align}
%
�ƂȂ�B�]���āA����$H$���������������́A
%
\begin{align}
 \rot{\rot{\vm{H}}}=-\frac{1}{c^2}\pdiff{2}{\vm{H}}{t}
 \label{eq:wave_equation}
\end{align}
%
�ƂȂ�B

���̎����A�ꏊ�Ǝ��Ԃ̗����̍��̕Δ����������Ȃ̂ŁA�����͍̂���ł���B
���̂��߁A
%
\begin{align}
 \vm{H}(\vm{r},t)=\vm{H}(\vm{r})f(t)
 \label{eq:hensuubunri}
\end{align}
%
�ƕϐ��������ł��邩�l����B��(\ref{eq:hensuubunri})��
(\ref{eq:wave_equation})�ɓ�����
%
\begin{align}
 \nabla\times\nabla\times\left\{\vm{H}(\vm{r})f(t)\right\}
 =
 -\frac{1}{c^2}\pdiff{2}{}{t}\left\{\vm{H}(\vm{r})f(t)\right\}
\end{align}
%
�ƂȂ�A���ԂƋ�Ԃ̔������l�����
%
\begin{align}
 f(t)\nabla\times\nabla\times\left\{\vm{H}(\vm{r})\right\}
 =
 -\vm{H}(\vm{r})\frac{1}{c^2}\pdiff{2}{}{t}\left\{f(t)\right\}
 \label{eq:hensubunri_diff_equation}
\end{align}
%
�ƂȂ�B�ȍ~�A�ȑf�ɋL�q���邽�߂ɁA����̋�Ԃ̊֐���$\vm{H}(\vm{r})$��
$\vm{H}_{\vm{r}}$�ƁA���Ԃ̊֐�$f(t)$��$f_t$�Ƃ���B�ϐ�����������̂ŁA
���ӂƉE�ӂ����ԋy�ы�Ԃ݂̂̊֐��ɂ������킯�����A�x�N�g���̉��Z�Ƃ���
���Ƃ��l�����A���̎��̗��ӂ�
$\vm{H}_{\vm{r}}/(\vm{H}_{\vm{r}}\cdot\vm{H}_{\vm{r}})$�Ȃ�x�N�g���̓�
�ς̉��Z���{���B�����
%
\begin{align}
 f_t\frac{\vm{H}_{\vm{r}}}{\vm{H}_{\vm{r}}\cdot\vm{H}_{\vm{r}}}\cdot\left\{\nabla\times\nabla\times\vm{H}_{\vm{r}}\right\}
 =
 -\frac{\vm{H}_{\vm{r}}\cdot\vm{H}_{\vm{r}}}{\vm{H}_{\vm{r}}\cdot\vm{H}_{\vm{r}}}\frac{1}{c^2}\pdiff{2}{f_t}{t}
\end{align}
%
�ƂȂ�B����𐮗�����ƁA
%
\begin{align}
 \frac{\vm{H}_{\vm{r}}}{\vm{H}_{\vm{r}}\cdot\vm{H}_{\vm{r}}}\cdot\left\{\nabla\times\nabla\times\vm{H}_{\vm{r}}\right\}
 =
 -\frac{1}{f_t}\frac{1}{c^2}\pdiff{2}{f_t}{t}
\end{align}
%
�ł���B���̕Δ����������́A���ӂ͋��$\vm{r}$�A�E�ӂ͎���$t$�݂̂̊֐�
�ł���B���ꂼ��ʂ̓Ɨ��ϐ��ƂȂ��Ă���̂ŁA���̓��������藧���߂ɂ́A
���̒l�͒萔�łȂ��Ă͂Ȃ�Ȃ��B���̒萔��$\omega^2/c^2$�Ƃ���
\footnote{$\omega^2/c^2$��2��ɂ���̂́A��̌v�Z���ȒP�ɂȂ邩��ł���B
$\omega$�𕡑f���͈̔͂܂ōl����ƁA���̒萔��$a$�Ƃ���̂Ɠ����ł���B}�B
��������ƁA
%
\begin{align}
 \frac{\vm{H}_{\vm{r}}}{\vm{H}_{\vm{r}}\cdot\vm{H}_{\vm{r}}}\cdot\left\{\nabla\times\nabla\times\vm{H}_{\vm{r}}\right\}
 =
 -\frac{1}{f_t}\frac{1}{c^2}\pdiff{2}{f_t}{t}
=\frac{\omega^2}{c^2}
\end{align}
%
�ł���B2�Ԗڂ�3�Ԗڂ̎�����A���Ԃ݂̂̔����������������A����͂���
��Δ����������ł͂Ȃ��A�����������
%
\begin{align}
\frac{d^2f_t}{dt^2}=-\omega^2{f_t}
\end{align}
%
�ɂȂ�B���̔����������́A�ȒP�ɉ�����
%
\begin{align}
 f_t=ae^{-i\omega t+\theta_0}
 \label{eq:time_dependance}
\end{align}
%
�ƂȂ�B�����ŁA$a$��$\theta_0$�͏��������ɂ�茈�܂�萔�ł���B����ŁA
�ϐ�����������(\ref{eq:hensuubunri})�̎��Ԃ̍������܂����B���̎��Ԃ̍��́A
�O�p�֐��ɂȂ��Ă���B

�c��̋�Ԃ̍�$\vm{H}_{\vm{r}}$�ɂ��čl���Ȃ��ĂȂ�Ȃ��B���ꂪ������
�Δ����������𓾂邽�߂ɁA���Ԃ̍��̌��ʂł��鎮(\ref{eq:time_dependance})
���A��(\ref{eq:hensubunri_diff_equation})�ɓK�p����B����ƁA
%
\begin{align}
 ae^{-i\omega t+\theta_0}\left[\nabla\times\nabla\times\vm{H}_{\vm{r}}\right]
 =
 -\vm{H}_{\vm{r}}\frac{1}{c^2}\pdiff{2}{}{t}\left(ae^{-i\omega
 t+\theta_0}\right)
\end{align}
%
�ƂȂ�B���Ԃ̍��̔������s���ƁA
%
\begin{align}
 ae^{-i\omega t+\theta_0}\left[\nabla\times\nabla\times\vm{H}_{\vm{r}}\right]
 =
 \vm{H}_{\vm{r}}\frac{\omega^2}{c^2}\left(ae^{-i\omega t+\theta_0}\right)
 \label{eq:neglect_time_derivatime}
\end{align}
%
�ƂȂ�B�������Ԃ̔���$(\partial/\partial t)$�́A$-i\omega$�ɒu��������
���̂ł���B����ɐ�������ƁA
%
\begin{align}
 \nabla\times\nabla\times\vm{H}_{\vm{r}}
 =\left(\frac{\omega}{c}\right)^2\vm{H}_{\vm{r}}
 \label{eq:rot_rot_H_eq_k_H}
\end{align}
%
�ƂȂ�B���ꂪ�A����̋�Ԃ̕Δ����A���������ŁA���E�������ۂ��ĉ�������
�ɂȂ�B���̉��͎���̋�ԕ��z��\���B����ƁA��(\ref{eq:time_dependance})
���|�����킹�����̂����ۂ̓d����̏�Ԃ�\���B

���̕������̉��͔g�ɂȂ��Ă���A�d����͕��f���ŏ������̂����ʂł���B
�]���āA��(\ref{eq:rot_rot_H_eq_k_H})��$\vm{H}_{\vm{r}}$�͕��f���ł���B
������������Ƌ�����
%
\begin{align}
 &\Re({\vm{H}_{\vm{r}}})=\vm{H}_r \\
 &\Im({\vm{H}_{\vm{r}}})=\vm{H}_i
\end{align}
%
�Ƃ���B�������g���āA��(\ref{eq:rot_rot_H_eq_k_H})���������Ƌ�������
�������������ɂ���ƁA
%
\begin{align}
 &\nabla\times\nabla\times\vm{H}_r=\frac{\omega^2}{c^2}\vm{H}_r \\
 &\nabla\times\nabla\times\vm{H}_i=\frac{\omega^2}{c^2}\vm{H}_i
\end{align}
�ƂȂ�B��(\ref{eq:rot_rot_H_eq_k_H})�́A����2�̔������������܂�ł���B

��ݔg(Standing Wave)�̏ꍇ�́A�������݂̂��l����B����͎����Ƃ���̂�
����B�������Ƃ��Ă��ǂ����A���܂ł̊��K�Ŏ������݂̂Ƃ��鎖�ɂȂ��Ă���B

�ȏ�ŁA�����g�d����̎��ꂪ�������ׂ����������������B����ƑS���������@
�ŁA�d�ꂪ�\�����������v�Z�ł���B�����
%
\begin{align}
 \nabla\times\nabla\times\vm{E}_{\vm{r}}
 =\left(\frac{\omega}{c}\right)^2\vm{E}_{\vm{r}}
 \label{eq:rot_rot_E_eq_k_E}
\end{align}
%
�ƂȂ�B

�d���ꕪ�z��\���������́A�����\����(\ref{eq:rot_rot_H_eq_k_H})�Ɠd��
��\����(\ref{eq:rot_rot_E_eq_k_E})������B���ꂼ��́A�Ɨ��ł͂Ȃ��}�N
�X�E�F���̕������̎�(\ref{eq:Maxwell_rot_E})��(\ref{eq:Maxwell_rot_H})��
�֘A�Â����Ă���B���E�������l���v�Z���₷�����̏�����߁A��������̏�
�̓}�N�X�E�F���̕������ɑ��(����)���邱�Ƃɂ��v�Z���邱�ƂɂȂ�B


%====================================================================
\section{�Ċ֐�}
%====================================================================
%�Ċ֐��������A���̑��ϕ����[���ƂȂ�����𓱂��B�I�C���[���������A��Ɏ�������
%���ׂ��������ɓ������Ƃ������Ƃ������B���킹�ċ��E�����ɂ��Ă��L�q����B
%
����̋�ԕ��z��������(\ref{eq:rot_rot_H_eq_k_H})�̔Ċ֐��������B

��(\ref{eq:rot_rot_H_eq_k_H})�̔Ċ֐���
%
\begin{align}
 F[\vm{H}]
 =\int\left[ \left(\rot{\vm{H}}\right)\cdot\left(\rot{\vm{H}^\ast}\right)
 -\left(\frac{\omega}{c}\right)^2\vm{H}\cdot\vm{H}^\ast\right]dV
 \label{eq:general_func_RF_H}
\end{align}
%
�ł���B�����ŁA$\vm{H}$�͎���̋�ԕ��z�ł���B��
(\ref{eq:rot_rot_H_eq_k_H})�ł�$\vm{H}_{\vm{r}}$�Ƃ��Ă������A�Ȍ��ɋL�q
���邽�߂ɁA�Y������$\vm{r}$���Ȃ����Ƃɂ���B�܂��A�A�X�^���X�N$\ast$��
���f����(complex conjugate)��\���B���̂悤�ɕ��f�������g���ƁA�Ċ֐���
�����ɂȂ�A�v�Z���ȒP�ɂȂ�B�܂��A�Ċ֐��̓G�l���M�[�Ɋ֌W���Ă��邱��
�������A���̂悤�ɂ���Ǝ���̃G�l���M�[�Ɋ֌W�����ʂɂȂ�B

����ł́A���̎��̑�1 �ϕ����[���ɂȂ��������(\ref{eq:rot_rot_H_eq_k_H})
�𖞑����邩�ǂ������ׂ�B���ϕ��́A$\vm{H}$��$\delta\vm{H}$�ω�������
�Ƃ��̔����ω��ʂ�
%
\begin{align}
 \delta F&=F[\vm{H}+\delta\vm{H}]-F[\vm{H}]
 \nonumber \\
%----------------
 &=\int \left[ 
 \left\{\nabla\times\left(\vm{H}+\delta\vm{H}\right)\right\}
 \cdot
 \left\{\nabla\times\left(\vm{H}^\ast+\delta\vm{H}^\ast\right)\right\}
 -\left(\frac{\omega}{c}\right)^2
 \left(\vm{H}+\delta\vm{H}\right)
 \cdot
 \left(\vm{H}^\ast+\delta\vm{H}^\ast\right)
 \right]dV \nonumber \\
%
 &\qquad\qquad -\int \left[ 
 \left(\rot{\vm{H}}\right)\cdot\left(\rot{\vm{H}^\ast}\right)
 -\left(\frac{\omega}{c}\right)^2\vm{H}\cdot\vm{H}^\ast\right]
 dV \nonumber \\
%----------------
 &\qquad\qquad\text{2���̔����ʂ𖳎������} \nonumber \\
%----------------
 &=\int \left[ 
 \left(\rot{\vm{H}}\right)\cdot\left(\rot{\delta\vm{H}^\ast}\right)+
 \left(\rot{\vm{H}^\ast}\right)\cdot\left(\rot{\delta\vm{H}}\right)
 -\left(\frac{\omega}{c}\right)^2\left\{
 \vm{H}\cdot\delta\vm{H}^\ast+
 \vm{H}^\ast\cdot\delta\vm{H}
 \right\}
 \right]dV
 \nonumber \\
%----------------
 &\qquad\qquad\text{�x�N�g���P����
 $\div{(\vm{V}\times\vm{W})}=\vm{W}\cdot(\rot\vm{V})-\vm{V}\cdot(\rot\vm{W})$��
 �g��}\nonumber \\
 &\qquad\qquad\text{$\vm{V}=(\rot{\vm{H}})$���邢��
 $(\rot{\vm{H}}^\ast),\quad\vm{W}=\delta\vm{H}^\ast$���邢��
 $\delta\vm{H}$�Ƃ���B}
 \nonumber \\
%----------------
 &=\int \left[ 
 -\nabla\cdot\left\{(\rot{\vm{H}})\times\delta\vm{H}^\ast\right\}
 +\delta\vm{H}^\ast\cdot\left\{\nabla\times(\nabla\times\vm{H})\right\}
 -\left(\frac{\omega}{c}\right)^2(\vm{H}\cdot\delta\vm{H}^\ast)
 \right]dV
 \nonumber \\
%
 &\qquad\qquad+\int \left[ 
 -\nabla\cdot\left\{(\rot{\vm{H}^\ast})\times\delta\vm{H}\right\}
 +\delta\vm{H}\cdot\left\{\nabla\times(\nabla\times\vm{H}^\ast)\right\}
 -\left(\frac{\omega}{c}\right)^2(\vm{H}^\ast\cdot\delta\vm{H})
 \right]dV
 \nonumber \\
%----------------
&\qquad\qquad\text{���̎��ɔ��U�藝���g���A���𐮗������}\nonumber \\
%----------------
 &=-\int \left[ 
 (\rot{\vm{H}})\times\delta\vm{H}^\ast+
 (\rot{\vm{H}^\ast})\times\delta\vm{H}
 \right]\cdot\vm{n}dS+
 \nonumber \\
%
 &\qquad\qquad
 \int \left[ 
 \left\{\nabla\times\nabla\times\vm{H}
 -\left(\frac{\omega}{c}\right)^2 \vm{H}\right\}\cdot\delta\vm{H}^\ast+
 \left\{\nabla\times\nabla\times\vm{H}^\ast
 -\left(\frac{\omega}{c}\right)^2 \vm{H}^\ast\right\}\cdot\delta\vm{H}
 \right]dV
 \label{eq:first_variation}
\end{align}
%
�ƂȂ�B

�����ŁA�C�ӂ�$\delta\vm{H}$�ɑ΂��āA���̑��ϕ�$\delta F$���[���ɂȂ�
�������l����B�������A����̊֐��͕��f���ɂȂ��Ă���B��1�ϕ�$\delta F$
�͎����ł��邪�A$\vm{H}$��$\delta\vm{H}$�͕��f���ł���B���̕��f���̎���
���Ƌ������̕ω��ɑ΂��āA��1�ϕ����[���ƂȂ�Ȃ��Ă͂Ȃ�Ȃ��B�킩���
�������邽�߂ɁA���f���ɂȂ��Ă��镔����
%
\begin{align}
 &\vm{H}=\vm{H}_r+i\vm{H}_i \\
 &\delta\vm{H}=\delta\vm{H}_r+i\delta\vm{H}_i
\end{align}
%
�Ǝ������Ƌ������ɕ�����B�������A��(\ref{eq:first_variation})�ɑ����
��ƁA
\begin{align}
 \delta F&=
 -2\int \left[ 
 (\rot{\vm{H}_r})\times\delta\vm{H}_r+
 (\rot{\vm{H}_i})\times\delta\vm{H}_i
 \right]\cdot\vm{n}dS+
 \nonumber \\
%
 &\qquad\qquad
 2\int \left[ 
 \left\{\nabla\times\nabla\times\vm{H}_r
 -\left(\frac{\omega}{c}\right)^2 \vm{H}_r\right\}\cdot\delta\vm{H}_r+
 \left\{\nabla\times\nabla\times\vm{H}_i
 -\left(\frac{\omega}{c}\right)^2 \vm{H}_i\right\}\cdot\delta\vm{H}_i
 \right]dV
\end{align}
%
�ƂȂ�B���ꂪ�A�������Ƌ������ɕ������Ċ֐��̑�1�ϕ��ł���B�������A
�C�ӂ�$\delta\vm{H}$�ɑ΂��āA���ꂪ�[���ɂȂ�������l����̂ł���B�C��
��$\delta\vm{H}$�ƌ������Ƃ́A�C�ӂ�$\delta\vm{H}_r$��$\delta\vm{H}_i$��
�΂��āA��1�ϕ����[���ɂȂ������T���̂ł���B

���̂��߂ɂ́A���̎��̉E�ӑ�1����2�����Ƃ��Ƀ[���ɂȂ�Ȃ��Ă͂Ȃ�Ȃ��B
�E�ӑ�1���́A���E������\���A
%
\begin{equation}
 \left\{
  \begin{aligned}
   &(\rot{\vm{H}_r})\times\vm{n}=0 &\text{�܂���}\qquad &\delta\vm{H}_r=0�@\\
   &\qquad\qquad\text{����} \\
   &(\rot{\vm{H}_i})\times\vm{n}=0 &\text{�܂���}\qquad &\delta\vm{H}_i=0 \\
  \end{aligned}
 \right.
\end{equation}
%
�̏ꍇ�A�[���ƂȂ�B�ʏ�́A$(\rot{H})\times\vm{n}=0$�Ƃ���B���ꂪ���R
���E�����ŁA�m�C�}�������ƂȂ�B���̎���̉�]�́A��
(\ref{eq:Maxwell_rot_H})���A$\rot{H}=i\omega\varepsilon_0\vm{E}$�ƂȂ�B
�]���āA�m�C�}�������́A$\vm{E}\times\vm{n}$�Ə����������Ƃ��ł���B����
�킿�A�d��Ƌ��E�̖@����������v����̂ł���B����́A�����̋��E�����ł�
��B���Ȃ킿�A���E���w�肵�Ȃ���΁A���R�ɋ����̋��E���������������̂�
����B����A$\delta\vm{H}=0$�̓f�B���N�������ŁA���E�̒l���w�肵���ꍇ��
����B

��2�����[���ƂȂ�̂́A
%
\begin{equation}
 \left\{
  \begin{aligned}
   &\nabla\times\nabla\times\vm{H}_r-
   \left(\frac{\omega}{c}\right)^2 \vm{H}_r=0 \\
   &\qquad\qquad\text{����} \\
   &\nabla\times\nabla\times\vm{H}_i-
   \left(\frac{\omega}{c}\right)^2 \vm{H}_i=0
  \end{aligned}
 \right.
\end{equation}
%
�ƂȂ�K�v������B����́A�}�N�X�E�F���̕��������瓱���ꂽ����̕Δ�����
����(\ref{eq:rot_rot_E_eq_k_E})�ƑS�������ł���B

�ȏ�̂��Ƃ���A�����g�̓d����̎�����v�Z���邽�߂ɂ́A��
(\ref{eq:general_func_RF_H})�̑��ϕ����[���ɂ���΂悢���Ƃ�������B��
����̃}�N�X�E�F���̕������́A��(\ref{eq:general_func_RF_H})�̑�1�ϕ���
�[���ɂ���̂Ɠ������̂ł���B


�����ł́A���Ώ̋󓴓����̓d��������߂邽�߂̔Ċ֐��������B���͒�ݔg
�Ɍ�����̂Ƃ���B

���Ώ̖��ł͒ʏ�A�~�����W�n���g���B���̏ꍇ�A�󓴂̌`��͊��S���Ώ̂�
����B��ݔg�̏ꍇ�A����͎����Ƃ��Ď�舵�����Ƃ��ł���B��
(\ref{eq:general_func_RF_H})�ł�\htmladdnormallink{�~�����W�n�̉�]} 
{http://www.akita-nct.jp/~yamamoto/study/electromagnetics/coodinate\_tra 
nsform/html/node6.html\#SECTION00062000000000000000}�̉��Z���\��A�����
%
\begin{align}
 \rot{\vm{H}}&=
   \left[ \frac{1}{r}\pdiff{1}{H_z}{\theta}-\pdiff{1}{H_{\theta}}{z}\right]
   \hat{\vm{r}}+
   \left[ \pdiff{1}{H_r}{z}-\pdiff{1}{H_z}{r}\right]
   \hat{\vm{\theta}}+
   \frac{1}{r}
   \left[ \pdiff{1}{}{r}(rH_{\theta})-\pdiff{1}{H_r}{\theta}\right]
   \hat{\vm{z}}
 \label{eq:cylindrical_rot_H}
\end{align}
%
�ł���B

��ʂɂ́A������A�Ċ֐��̎�(\ref{eq:general_func_RF_H})�ɑ�����邱�Ƃ�
�Ȃ�B�������A�ʏ�̋󓴂ł͍ł����U���g���̒Ⴂ���[�h���d�v�ɂȂ�B����
���A�^�]���[�h�ƂȂ�A�^����ɉ�͂��������[�h�ł���B���̃��[�h�́A�ꂪ
$\hat{\vm{\theta}}$�����̈ˑ������������A�����$H_{\theta}$�݂̂ł���B
���̃��[�h�̎���̉�]�́A
%
\begin{align}
 \rot{\vm{H}}&=
   \left[ -\pdiff{1}{H_{\theta}}{z}\right]\hat{\vm{r}}+
   \frac{1}{r}\left[ \pdiff{1}{}{r}(rH_{\theta})\right]\hat{\vm{z}}
 \nonumber \\
 &=\left(-\pdiff{1}{H_{\theta}}{z}\right)\hat{\vm{r}}+
 \left(\frac{H_\theta}{r}+\pdiff{1}{H_\theta}{r}\right)\hat{\vm{z}}
 \label{eq:cylindrical_rot_H_only_theta}
\end{align}
%
�ƂȂ�B���̉�]�̌��ʂ�Ċ֐��̎�(\ref{eq:general_func_RF_H})�ɓK�p����
�ƁA
%
\begin{align}
F[H_\theta]
 &=\int \left[ \left(\pdiff{1}{H_{\theta}}{z}\right)^2
   +
   \left(\frac{H_\theta}{r}+\pdiff{1}{H_\theta}{r}\right)^2
 -\left(\frac{\omega}{c}\right)^2 H_\theta^2\right]dV
 \nonumber \\
 &=\int \left[ \left(\pdiff{1}{H_{\theta}}{z}\right)^2
 +\left(\pdiff{1}{H_\theta}{r}\right)^2
 +2\frac{H_\theta}{r}\pdiff{1}{H_\theta}{r}
 +\left(\frac{H_\theta}{r}\right)^2
 -\left(\frac{\omega}{c}\right)^2 H_\theta^2\right]2\pi rdrdz
 \label{eq:Lagrangian_cavity_sw}
\end{align}
%
�ƂȂ�B

%====================================================================
\section{���U��}
%====================================================================
%�v�Z�@�Ōv�Z���邽�߂̗��U���������𓱂��B
%
�w�����z���c��������L���v�f�@�ɂ���ČŗL�l���ɂ���ƁA
\begin{align}
 \vm{Ku} = \lambda \vm{Mu}
 \label{eq:generalized_eigenvalue_problem}
\end{align}
�Ƃ����`�̈�ʉ��ŗL�l���ɂȂ�B�����ŁA�f�B���N�������͐Ď��f�B���N��
�����Ƃ��A �ߓ_�̔ԍ��́A�f�B���N���������Ō�ɂȂ��Ă�����̂Ƃ���B ��
�Ȃ킿�A�f�B���N�������ȊO�̐ߓ_��1�Ԃ���$m$�Ԃ܂ŁA $m+1$�Ԃ���$n$�Ԃ�
�ł́A�Ď��f�B���N�������Ƃ���B ���̂悤�ȑO������ŁA$m$�s$m$��̍s��
���ȉ��̂悤�ɂ��Ă���B

�����A�i\ref{eq:Lagrangian_cavity_sw}�j����ό`����B$\displaystyle 
\lambda=\left(\frac{\omega}{c}\right)^2$�A$u=H_\theta$ �Ƃ����B�܂��A
$2\pi$�͒萔�Ȃ̂ŏȗ�����B
\begin{align}
 J = \iint_D r\left\{ 
 \left(\pdiff{1}{u}{r}\right)^2 + \left(\pdiff{1}{u}{z}\right)^2
 \right\} drdz
 + 2\iint_D u \pdiff{1}{u}{r} drdz
 + \iint_D \frac{u^2}{r} drdz
 - \lambda \iint_D ru^2 drdz
 \label{eq:Lagrangian_cavity_sw_2}
\end{align}

���̎��̐ϕ��̈���A�O�p�`1���v�f�ɕ������Čv�Z����B�����ŁA�ߓ_�ԍ� 
$i$�A$j$�A$k$ �����O�p�`�ɂ����āA�ԍ� $i$ �̓_�ł� $u$ �� $u_i$ �ƕ\
�����Ƃɂ���B���̂悤�ɂ��āA��̔Ċ֐��̔����ω��i�ϕ��j��0�ƂȂ����
�v�Z����B

�� (\ref{eq:Lagrangian_cavity_sw_2}) �̕ϕ��́A�S�O�p�`�v�f�i$(I)$�A
$(J)$�A$\cdots$�j�̘a�Ŏ��̂悤�ɕ\�����Ƃ��ł���B
\begin{align}
 \pdiff{1}{J[u]}{u_i}
 &= \pdiff{1}{}{u_i} \left[  \iint_{(I)} r\left\{ \left(\pdiff{1}{u}{r}\right)^2
 + \left(\pdiff{1}{u}{z}\right)^2 \right\} drdz
 + 2\iint_{(I)} u \pdiff{1}{u}{r} drdz + \iint_{(I)} \frac{u^2}{r} drdz
 - \lambda \iint_{(I)} ru^2 drdz \right] \nonumber \\
 &+ \pdiff{1}{}{u_i}
 \left[  \iint_{(J)} r\left\{ \left(\pdiff{1}{u}{r}\right)^2
 + \left(\pdiff{1}{u}{z}\right)^2 \right\} drdz
 + 2\iint_{(J)} u \pdiff{1}{u}{r} drdz + \iint_{(J)} \frac{u^2}{r} drdz
 - \lambda \iint_{(J)} ru^2 drdz \right] \nonumber \\
 &+ \cdots
 \label{eq:Lagrangian_variation}
\end{align}
���ɁA�v�f $(I)$ �̊�^�ɂ�鍀�݂̂������o���B
\begin{align}
  \pdiff{1}{J[u]}{u_i} \Bigg|_{(I)}
 = \pdiff{1}{}{u_i} \left[ \iint_{(I)} r\left\{ \left(\pdiff{1}{u}{r}\right)^2
 + \left(\pdiff{1}{u}{z}\right)^2 \right\} drdz
 + 2\iint_{(I)} u \pdiff{1}{u}{r} drdz + \iint_{(I)} \frac{u^2}{r} drdz
 - \lambda \iint_{(I)} ru^2 drdz \right]
 \label{eq:Lagrangian_variation_I}
\end{align}

�㎮�̐ϕ������v�Z���Ă����B 
\begin{align}
 \pdiff{1}{}{u_i} \iint_{(I)} r\left\{\left(\pdiff{1}{u}{r}\right)^2
 +  \left(\pdiff{1}{u}{z}\right)^2\right\} drdz
 &= 2\iint_{(I)} r\,drdz \left(\pdiff{1}{\phi_i}{r}\pdiff{1}{\phi_i}{r}
 +  \pdiff{1}{\phi_i}{z}\pdiff{1}{\phi_i}{z}\right) u_i \nonumber \\
 &+ 2\iint_{(I)} r\,drdz \left(\pdiff{1}{\phi_i}{r}\pdiff{1}{\phi_j}{r}
 +  \pdiff{1}{\phi_j}{z}\pdiff{1}{\phi_i}{z}\right) u_j \nonumber \\
 &+ 2\iint_{(I)} r\,drdz \left(\pdiff{1}{\phi_i}{r}\pdiff{1}{\phi_k}{r}
 +  \pdiff{1}{\phi_k}{z}\pdiff{1}{\phi_i}{z}\right) u_k
 \label{eq:Lagrangian_variation_I_1}
\end{align}
\begin{align}
 \pdiff{1}{}{u_i} \iint_{(I)} u\pdiff{1}{u}{r} drdz
 &= \iint_{(I)} \left(\phi_i\pdiff{1}{\phi_i}{r}
 +  \phi_i\pdiff{1}{\phi_i}{r}\right) drdz \, u_i \nonumber \\
 &+ \iint_{(I)} \left(\phi_i\pdiff{1}{\phi_j}{r}
 +  \phi_j\pdiff{1}{\phi_i}{r}\right) drdz \, u_j \nonumber \\
 &+ \iint_{(I)} \left(\phi_i\pdiff{1}{\phi_k}{r}
 +  \phi_k\pdiff{1}{\phi_i}{r}\right) drdz \, u_k
 \label{eq:Lagrangian_variation_I_2}
\end{align}
\begin{align}
 \pdiff{1}{}{u_i} \iint_{(I)} \frac{u^2}{r} drdz
 = 2\iint_{(I)} \frac{1}{r}\phi_i\phi_i drdz\,u_i
 + 2\iint_{(I)} \frac{1}{r}\phi_i\phi_j drdz\,u_j
 + 2\iint_{(I)} \frac{1}{r}\phi_i\phi_k drdz\,u_k
 \label{eq:Lagrangian_variation_I_3}
\end{align}
\begin{align}
 \pdiff{1}{}{u_i} \iint_{(I)} ru^2 drdz
 = 2\iint_{(I)} r\phi_i\phi_i drdz \, u_i
 = 2\iint_{(I)} r\phi_i\phi_j drdz \, u_j
 = 2\iint_{(I)} r\phi_i\phi_k drdz \, u_k
 \label{eq:Lagrangian_variation_I_4}
\end{align}
��������ɍs��̗v�f�����߂�ƈȉ��̂悤�ɂȂ�B
\begin{gather}
 k_{ij}|_{(I)}
 = \left(\pdiff{1}{\phi_i}{r}\pdiff{1}{\phi_j}{r}
 +  \pdiff{1}{\phi_i}{z}\pdiff{1}{\phi_j}{z}\right) \iint_{(I)} r\,drdz
 +  \iint_{(I)} \left(\phi_i\pdiff{1}{\phi_j}{r}
 +  \phi_j\pdiff{1}{\phi_i}{r}\right) drdz
 +  \iint_{(I)} \frac{1}{r}\phi_i\phi_j drdz
 \label{eq:matrix_element_k} \\
 m_{ij}|_{(I)}
 = \iint_{(I)} r\phi_i\phi_j drdz
 \label{eq:matrix_element_m}
\end{gather}

�����ŁA$\phi$ �͎O�p�`������1���ߎ����邽�߂̊֐��ŁA�`��֐��ƌĂ΂��
���̂ł���B�ڍׂ͌ː씹�l���́u�ϕ��@�ƗL���v�f�@�v~\cite{vm_and_fem} 
���Q�l�ɂ��Ă��炢�����B
\begin{align}
 \phi_i = 
 \frac{1}{\Delta}\begin{vmatrix} 1 & z & r \\ 1 & z_j & r_j \\ 1 & z_k & r_k \end{vmatrix}
\end{align}
$\Delta$ �͎O�p�`�̖ʐς�2�{�ŁA
\begin{align}
 \Delta = r_i z_j + r_j z_k + r_k z_i - z_i r_j - z_j r_k - z_k r_i
 \label{eq:delta}
\end{align}
�ƂȂ�B����ɐϕ����v�Z����B�����̎��̐ϕ��͈͎͂O�p�`�v�f�̓����ł�
��B��Ƃ��Đ}\ref{fig:integrate_triangle} �̂悤�ȎO�p�`�ōl����B�O�p
�`�̊e�ӂ�1���֐� $f_a$�A$f_b$�A$f_c$ �ŕ\���ƁA���̂悤�ɏ�����B
\begin{align}
 f_a &= \frac{r_k-r_j}{z_k-z_j}(z-z_j)+r_j \\
 f_b &= \frac{r_i-r_j}{z_i-z_j}(z-z_j)+r_j \\
 f_c &= \frac{r_k-r_i}{z_k-z_i}(z-z_i)+r_i
 \label{eq:triangle_edge}
\end{align}
����āA�O�p�`�����̐ϕ��͈͎͂��̂悤�ɂȂ�B
\begin{align}
 \iint drdz
 = \int_{z_j}^{z_i}\!\!\int_{f_a}^{f_b}drdz
 + \int_{z_i}^{z_k}\!\!\int_{f_a}^{f_c}drdz
 \label{eq:integrate_triangle}
\end{align}
����ɂ��������āA�ϕ����v�Z���Ă����B

\vspace{1cm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \includegraphics*[scale=0.5]{fig/integrate_triangle.eps}
  \caption{�ϕ�����O�p�`�̈�}
  \label{fig:integrate_triangle}
 \end{center}
\end{figure}

\begin{gather}
 \iint_{(I)} r\,drdz \left( \pdiff{1}{\phi_i}{r}\pdiff{1}{\phi_i}{r}
 + \pdiff{1}{\phi_i}{z}\pdiff{1}{\phi_i}{z} \right)
 = \frac{1}{6\Delta}(r_i+r_j+r_k)[(z_j-z_k)(z_k-z_i)+(r_j-r_k)(r_k-r_i)]
 \label{eq:matrix_element_k_1} \\
 \iint_{(I)} \left(\phi_i\pdiff{1}{\phi_j}{r}
 + \phi_j\pdiff{1}{\phi_i}{r}\right) drdz
 = \frac{z_j-z_k}{6}+\frac{z_k-z_i}{6}
 \label{eq:matrix_element_k_2}
\end{gather}
���̌v�Z�͏����ߎ��̌v�Z������B $r_0$ �͎O�p�`�̏d�S���W�Ȃ̂� 
$r_0=(r_i+r_j+r_k)/3$ �ł���B
\begin{align}
 \iint_{(I)} \frac{1}{r}\phi_i\phi_i drdz
 &= \frac{1}{r_0} \iint_{(I)} \phi_i\phi_i drdz \nonumber \\
 &= \begin{cases}
	 \displaystyle \frac{1}{r_0}\frac{1}{24\Delta} & (i \ne j) \\ \\
	 \displaystyle \frac{1}{r_0}\frac{1}{12\Delta} & (i=j)
	\end{cases}
 \label{eq:matrix_element_k_3}
\end{align}
\begin{align}
 \iint_{(I)} r\phi_i\phi_j drdz =
 \begin{cases}
  \displaystyle \frac{1}{120}(2r_i+2r_j+r_k)\Delta & (i \ne j) \\ \\
  \displaystyle \frac{1}{60}(3r_i+r_j+r_k)\Delta   & (i=j)
 \end{cases}
 \label{eq:matrix_element_k_4}
\end{align}
�ȏ�̌v�Z���A�s�� $\vm{K}$ ����� $\vm{M}$ ��
\begin{align}
 k_{ii}|_{(I)}
 &= \frac{1}{6\Delta}(r_i+r_j+r_k)[(z_j-z_k)^2+(r_j-r_k)^2] \nonumber \\
 &+ \frac{z_j-z_k}{3} \nonumber \\
 &+ \frac{1}{r_0}\frac{1}{12\Delta}
 \label{eq:matrix_element_k_ii} \\
 k_{ij}|_{(I)}
 &= \frac{1}{6\Delta}(r_i+r_j+r_k)[(z_j-z_k)(z_k-z_i)+(r_j-r_k)(r_k-r_i)] \nonumber \\
 &+ \frac{z_j-z_k}{6} + \frac{z_k-z_i}{6} \nonumber \\
 &+ \frac{1}{r_0}\frac{1}{24\Delta}
 \label{eq:matrix_element_k_ij} \\
 m_{ii}|_{(I)} &= \frac{1}{120}(2r_i+2r_j+r_k)\Delta
 \label{eq:matrix_element_m_ii} \\
 m_{ij}|_{(I)} &= \frac{1}{60}(3r_i+r_j+r_k)\Delta
 \label{eq:matrix_element_m_ij} 
\end{align}
�Ƃ��Č���ł���B

���̂悤�ɂ��ē���ꂽ�s�񂩂�A�ŗL�l��肪�^������B����͂��������
���z�@��p���Čv�Z�����B

%====================================================================
\section{�d��̌v�Z}
%====================================================================
%���ꂩ��d������߂鎮�𓱂��B
%
�}�N�X�E�F���̕������𗣎U�����āA����͋��߂�ꂽ�B�������A���ꂾ���ł�
���d������߂�K�v������B�d��́A������������Γ�����B�����ł́A��
�U�I�ɋ��߂�ꂽ����̔������v�Z������@�ɂ��ďq�ׂ�B

���U�󓴂̖��ɂ����āA�d������߂鎮�͎��̂悤�ɏ�����B
\begin{align}
 &\vm{E}=\frac{i}{\varepsilon_0 \omega}\rot{\vm{H}}
 \label{eq:E_from_H}
\end{align}
�d�� $\vm{E}$ �́A���� $\vm{H}$ �̉�]���v�Z���邱�Ƃɂ���ē�����B

���Ώ̍\���̋󓴓���L���v�f��͂���ɂ�����A�܂�������v�Z�����B���Ώ�
�Ȃ̂ŁA����� $\theta$ ���������݂̂ł���B���������āA���̎���̉�]��
�狁�߂���d���
\begin{align}
 E_r &= -\frac{i}{\varepsilon_0 \omega}\pdiff{1}{H_{\theta}}{z} \label{eq:Ez_eq_rotH_r} \\
 E_z &= \frac{i}{\varepsilon_0 \omega}\frac{1}{r}\pdiff{1}{}{r}(rH_{\theta}) \label{eq:Ez_eq_rotH_z}
\end{align}
�ƂȂ�B

�L���v�f�@�ł́A�}\ref{fig:element_and_Ht} �Ɏ����悤�ɁA�O�p�`�̈�̒�
�_�Ŏ��� $H_{\theta}$ �̒l���v�Z����B�����3�̎��ꂩ��A�v�f���̓d��
$E_r$ �� $E_z$ �����߂Ȃ��Ă͂Ȃ�Ȃ��B�܂����߂ɁA�v�f���̔C�ӂ̈ʒu��
�̎�����v�Z���鎮�𓱂��B����̌v�Z�ł͗v�f����1���ŋߎ����Ă���̂ŁA
�v�f���̎����
\begin{align}
 H_{\theta}(z,r) = \alpha + \beta z + \gamma r
 \label{eq:H_in_element}
\end{align}
�ƂȂ�B���̗v�f���̎���̒l��p���āA�̈���̓d����v�Z����B��
(\ref{eq:H_in_element}) �ɂ�莮 (\ref{eq:Ez_eq_rotH_r}) ��
(\ref{eq:Ez_eq_rotH_z}) ��]�������
\begin{align}
 E_r &= -\frac{i}{\varepsilon_0 \omega}\beta \label{eq:Er_in_element} \\
 E_z &= \frac{i}{\varepsilon_0 \omega}
 \left(\frac{\alpha + \beta z}{r} + 2\gamma\right) \label{eq:Ez_in_element}
\end{align}
�𓱂����Ƃ��ł���B�����̎����� $\alpha$�A$\beta$�A$\gamma$ �����߂�
���Ƃ��ł���Γd����v�Z���邱�Ƃ��ł���B

�܂��A�O�p�`��3�̒��_�Ő��藧���̊֌W���l����B
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  1 & z_i & r_i \\
  1 & z_j & r_j \\
  1 & z_k & r_k
 \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}
  \alpha \\ 
  \beta  \\ 
  \gamma
 \end{bmatrix}
 =
 \begin{bmatrix}
  H_{\theta\,i} \\
  H_{\theta\,j} \\
  H_{\theta\,k}
 \end{bmatrix}
 \label{eq:H_at_vertex}
\end{align}
�����ŁA$(z_i,\,r_i)$��$(z_j,\,r_j)$�A$(z_k,\,r_k)$ �͊e���_�̍��W�A
$H_{\theta\,i}$��$H_{\theta\,j}$�A$H_{\theta\,k}$ �͂��̈ʒu�ł̎���̋�
���ł���B���̘A���������̉��́A
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  \alpha \\ 
  \beta  \\ 
  \gamma
 \end{bmatrix}
 =
 \begin{bmatrix}
  1 & z_i & r_i \\
  1 & z_j & r_j \\
  1 & z_k & r_k
 \end{bmatrix}^{-1}
 \begin{bmatrix}
  H_{\theta\,i} \\
  H_{\theta\,j} \\
  H_{\theta\,k}
 \end{bmatrix}
 \label{eq:cal_alpha_beta_gamma}
\end{align}
�Ƃ��Čv�Z�ł���B����� $\alpha$�A$\beta$�A$\gamma$ �̊e�W�������߂��
���B

\vspace{1cm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \includegraphics*[scale=0.5]{fig/element_H.eps}
  \caption{�O�p�`�v�f�Ɗe���_�ł̎���}
  \label{fig:element_and_Ht}
 \end{center}
\end{figure}

%####################################################################
\chapter{���l�v�Z}
%####################################################################
%
%====================================================================
\section{�v���O�����̊T�v}
%====================================================================
%
����̌����ł́A�L���v�f�@��p���Ď��Ώ̂̉����󓴓����̓d���ꂨ��ы��U
���g�������߂�v���O�������쐬�����B�g�p��������́AC++�ł���B

�v���O�����́A�傫�������Ď���5�̍\�����琬���Ă���B
\begin{quote}
 \begin{enumerate}
 \item �̈撆�̊e�O�p�`�̍��W�⋫�E�����𓾂�
 \item �W���s������肷��
 \item �ŗL�l���������A�ŗL�l�Ǝ�������߂�
 \item ����̉�]���v�Z���A�d������߂�
 \item �v�Z���ʂ��o�͂���
 \end{enumerate}
\end{quote}

�܂��A�{�������ŊJ�����ꂽ���b�V���W�F�l���[�^����o�͂����t�@�C�����
�݁A�v�Z�̈�̏��𓾂�B�ߓ_�̍��W�Ƃ��ꂪ���E�������ǂ����A����ɎO�p
�`���ǂ̐ߓ_�������Ă��邩�Ƃ������Ƃ������ł킩��B

�����Ă��̏������ƂɌW���s������肷��B(\ref{eq:matrix_element_k_ii})
�`(\ref{eq:matrix_element_m_ij}) �����v�Z���邱�Ƃł�����s���B

�W���s�񂪌��܂�����A�����p���ČŗL�l���������A�ŗL�l�Ǝ���̕��z��
������B���U���g���́A�ŗL�l���킩��Ύ��̊֌W
\begin{align}
 \left(\frac{\omega}{c}\right)^2 = \lambda
\end{align}
���
\begin{align}
 f = \frac{c}{2\pi}\sqrt{\lambda}
\end{align}
�Ƌ��߂���B$c$ �͌��̑��x�i$c=299792458$ [m/s]�j�ł���B

%####################################################################
\chapter{�v�Z����}
%####################################################################
%
�{�����ō쐬�����v���O������p���āAKEK-PF�̉�����
~\cite{measurement_impedance}����͂����B�v���O�����Ōv�Z���s�����߂��
�����U���g���́A499.99MHz �ł������B���ۂɑ��肵���l�� 499.5MHz �ł�����
�̂ŁA�悢���x�Ōv�Z�ł��Ă��邱�Ƃ��킩��B

\vspace{1cm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \includegraphics*[scale=0.4]{fig/result_H_E.bmp}
  \caption{�󓴓��̓d����}
  \label{fig:result_H_and_E}
 \end{center}
\end{figure}

��̐}�́A�󓴓��̓d�����\���Ă���B�F�̕��z������̋����������Ă���A
�����獕�֕ω�����ɂ�Ď��ꂪ�キ�Ȃ��Ă���B�܂��A���ɐL�тĂ��鍕��
���͓d�C�͐��ł���B�����ǂɑ΂��Đ����ɂȂ��Ă��邱�Ƃ��ώ@�ł���B

%####################################################################
\chapter{�l�@}
%####################################################################
%
����쐬�����v���O�����̌v�Z���x���m���߂邽�߂ɁA�}\ref{fig:cylinder} 
�̋󓴂�p���Đ��x�̌��؂��s�����B���a1�A����1�̉~���^�̋��U�󓴂ł���B
���̋󓴂̌ŗL�l�̉�͉��͊ȒP�ɋ��߂邱�Ƃ��ł��A���̒l�� 5.783185963 
�ł���B
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \includegraphics*[scale=0.4]{fig/cylinder.eps}
  \caption{�~���`�̋��U��}
  \label{fig:cylinder}
 \end{center}
\end{figure}

�\\ref{tbl:nodes_vs_error}�ɁA�ݒ萔�ƌ덷�̊֌W�������B�ߓ_���𑽂�����
�΂���قǌ덷�̒l���������Ȃ��Ă���A�ߓ_���̈�ԑ����Ƃ���Ō덷�� 
$10^{-4}$ �ȉ��A�܂� 0.01\% �ȉ��ɂȂ��Ă��邱�Ƃ��킩��B�܂��A�ߓ_��
�ƌ덷�̊֌W���O���t���������̂�}\ref{fig:nodes_vs_error}�Ɏ����B���̃O
���t����A�ߓ_���𖳌��ɑ��₷���Ƃ��ł���΁A�덷��0�ƂȂ邱�Ƃ��킩��B
�������ߓ_���̑����ɉ����Ďg�p�������ʂ��}���ɑ����邽�߁A�g�p�ł���ő�
�̐ߓ_���̓R���s���[�^�̐��\�Ɉˑ�����B�܂��A�v�Z�ʂ�������Ɗۂߌ덷��
�������傫���Ȃ��Ă��邽�߁A�ߓ_���𑝂₵������ƌ덷���傫���Ȃ�\��
������B

\begin{table}[htbp]
 \caption{�ߓ_���ƌ덷�Ƃ̊֌W}
 \label{tbl:nodes_vs_error}
 \begin{center}
  \normalsize
  \begin{tabular}{cccc} \hline
   �ߓ_��$^{-1}$ & �ߓ_�� & �ŗL�l & �덷 \\ \hline
   0.000123 & 8125 & 5.78368 & 0.0000854 \\
   0.000127 & 7898 & 5.78373 & 0.0000941 \\
   0.000152 & 6562 & 5.78380 & 0.0001062 \\
   0.000180 & 5563 & 5.78391 & 0.0001252 \\
   0.000213 & 4703 & 5.78401 & 0.0001425 \\
   0.000254 & 3937 & 5.78416 & 0.0001684 \\
   0.000275 & 3634 & 5.78422 & 0.0001788 \\
   0.000549 & 1820 & 5.78529 & 0.0003638 \\
   0.000852 & 1174 & 5.78628 & 0.0005350 \\ \hline
  \end{tabular}
 \end{center}
\end{table} %

\begin{figure}[htbp]
 \begin{center}
  \includegraphics*[scale=0.8]{fig/nodes_vs_error.eps}
  \caption{�ߓ_���ƌ덷�̊֌W}
  \label{fig:nodes_vs_error}
 \end{center}
\end{figure}

%####################################################################
\chapter{�܂Ƃ�}
%####################################################################
%
1�N�Ԍ����Ɏ��g�񂾌��ʂƂ��āA�v�Z���x�� $10^{-4}$ ���x�̃v���O������
���邱�Ƃ��ł����B

����̉ۑ�Ƃ��āA�܂��v�Z���x�̌��オ��������B�ڕW�́A$10^{-6}$ ���x
�ł���B���̂��߂ɂ́A�O�p�`�v�f�̓�����2���ߎ����邱�Ƃ�A�A�_�v�e�B�u
���b�V����p���邱�ƂȂǂ��K�v�ł���B

�܂��A�i�s�g����舵���Ƃ����ۑ���c���Ă���B����͒�ݔg�݂̂������Ă�
���̂ŁA�i�s�g����������悤�ɂȂ�΂���Ƀv���O�����̉��p�͈͂��L����
�ł��낤�B

%====================================================================
%======= �Q�l���� ====================================================
\bibliographystyle{junsrt}
\bibliography{reference} 
%====================================================================
%####################################################################
\chapter*{�ӎ�}
%\addcontentsline{toc}{�ӎ�}
%####################################################################
���w�����Ă����������S�������̎R�{���u�搶�A���܂��܂Ȗʂł����͂��Ă���
��������U�Ȃ̉Ĉ��炳��A�{�c�ČႳ��Ɋ��ӂ̈ӂ�\���܂��B
%
%<<<<<<<<<<<<<<<<    ����ȍ~�͕t�^    >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
%====================================================================
\appendix
%====================================================================
%
%####################################################################
\chapter{�v�Z�v���O����}
%####################################################################
%�����ɁA�{���ɏ�������Ȃ��ׂ������ƂȂǂ������B
%
\lgrindfile{src.tex}
%\verbatiminput{_femapp.cpp}
%====================================================================
%
\end{document}

