%====================================================================
% ���Ĺ��ȹ�������ع����ŵ����زʡ�´����ʸ
%
%
% 
% 
%====================================================================
\documentclass[a4paper,11pt]{jreport}
\usepackage{akithesis}
\usepackage{html}
\usepackage[dviout]{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{ascmac}
\usepackage{float}
\usepackage{lgrind}
%\usepackage{listings}
%\usepackage{jlisting}
\usepackage{verbatim}
%
\newcommand{\vm}[1]{\boldsymbol{#1}}
\newcommand{\hugesymbol}[1]{\mbox{\strut\rlap{\smash{\Huge$#1$}}\quad}}
\newcommand{\grad}[1]{\nabla #1}
\renewcommand{\div}[1]{\nabla\cdot #1 }
\newcommand{\rot}[1]{\nabla\!\times\! #1}
\newcommand{\pdiff}[3]{
 \if 1#1 \frac{\partial #2}{\partial #3}
 \else \frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}\fi
}
% �ɲ�:
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\input{jdummy.def}

%
%====================================================================
\title{ͭ������ˡ�ˤ��\\����ȶ����⡼�ɲ��Ϥδ���Ū����}
\author{�����ڡ���}
\advisor{���ܡ�����}{������}            %% ��Ƴ����{�� ̾}{��}
\heiseiyear{16}                       %% ʿ����ǯ��
\date{2005ǯ 3��}                     %%����
%====================================================================
\begin{document}
\maketitle 
%
%====================================================================
%           ���֥��ȥ饯��(����)
%====================================================================
\begin{abstract}
%�׻ݤ򤳤��˽񤯡������ϡ����٤ơ���ʸ���Ǥ������ä��塢�Ǹ�˽񤱤Ф褤�Ǥ�������
%
���ܸ���Ǥϡ�ͭ������ˡ���Ѥ��ƹ���ȶ����⡼�ɤβ��Ϥ�Ԥ�����Υץ��� 
������������������оݤϡ���®��ƶ�ʤɤζ�����ƶ�Ǥ��롣���Τ褦�ʶ� 
ƶ���߷פ�����ˡ���ƶ�������ż���䶦�����ȿ���׻����뤳�Ȥ����ѽ� 
�פȤʤ롣

��ƶ����ż���ϡ��ޥ�����������������ˤ�äƵ��Ҥ���롣��ƶ��Ͽ�����
���ꡢ�ޤ��Ų٤���ή��¸�ߤ��ʤ��Ȥ������β��Ǥϡ�����ϥإ��ۥ����
����
\begin{align*}
 \nabla^2 \vm{H} + \lambda^2 \vm{H} = 0
\end{align*}
�ˤʤ롣 $\vm{H}$ �ϼ����ɽ�����֤δؿ��� $\lambda$ �ϸ�ͭ�ͤǤ��롣��
�Ϥ����ΰ�ϼ��оι�¤�Ǥ��뤫�顢�弰����ʬ�黻�Ҥ˱����ɸ�Ϥ�Ŭ�Ѥ���
ɬ�פ����롣����ˡ����Ϥ���⡼�ɤ�ñ�ˤ�TM�⡼�ɤȤ���ȡ������ƴؿ��� 
\begin{align*}
 F[H_\theta]
 = \int\left[\left(\pdiff{1}{H_{\theta}}{z}\right)^2+\left(\pdiff{1}{H_{\theta}}{r}\right)^2
 + 2\frac{H_{\theta}}{r}\pdiff{1}{H_{\theta}}{r}
 + \left(\frac{H_{\theta}}{r}\right)^2
 - \lambda^2 H_{\theta}^2\right] 2\pi r drdz
\end{align*}
�Ȥʤ롣�ºݤ�ͭ������ˡ���Ѥ��Ʒ׻�������ϡ��׻��ΰ�򻰳ѷ��Υ�å�
��Ƕ��ڤ롣�����ơ���˼������ƴؿ���ƻ��ѷ����Ǥ�Ŭ�Ѥ��ʤ���׻����롣
���Τ褦�ˤ���Υ�������줿�ƴؿ�����1��ʬ��0�Ȥ��뼰��
\begin{align*}
 \vm{Ax} = \lambda\vm{Bx}
\end{align*}
�Ȥ������ΰ��̲���ͭ������˴Ը�����롣�����ǤϤ��ΰ��̲���ͭ�������
�����ˡ�ˤ�äƷ׻�����$H_{\theta}$ ����� $\lambda$ ���᤿��

���������ץ��������Ѥ���KEK�β�®��ƶ�ζ����⡼�ɤ�׻��������׻��η�
�̡������ʬ�ۤ���뤳�Ȥ��Ǥ������ޤ����׻��ˤ�����줿�������ȿ�
��500.0MHz�Ǥ��ä���¬���̤�499.5MHz�Ǥ��ä��Τǡ��褤���٤Ƿ׻��Ǥ���
���뤳�Ȥ��狼�롣

�ܸ���ˤ����ơ�ͭ������ˡ�ˤ�궦���⡼�ɤ��׻��Ǥ���褦�ˤʤä�������
������٤�夲�뤿��2�����Ǥ�Ƴ����ͤ���ɬ�פ����롣�ޤ�������ȤΤߤ�
�餺�ʹ��Ȥ�������갷����褦�ˤʤ�ȡ����α����ϰϤ������롣
\end{abstract}
%====================================================================
%           �ܼ�
%====================================================================
\tableofcontents
%
%
%====================================================================
\chapter{����}
%====================================================================
% �ʲ��Τ��Ȥ򵭽Ҥ��롣
% \begin{itemize}
%  \item ������ط�
%  \item ������Ū
%  \item ���θ���
%  \item �����Ǥθ�����ˡ
% \end{itemize}
%====================================================================
��®��ƶ�Τ褦�ʶ�����ƶ���߷פ����硢���ζ����⡼�ɤβ��ϤϽ��פǤ��롣
����ԥ塼�����ߥ�졼�����ˤ�ꤽ�ζ����⡼�ɤμ��ȿ����ż���ʬ�ۤ��
��������ƶ�����κ�Ŭ����Ԥ����Ȥˤʤ롣�ܸ���Ǥϡ����оι�¤�ζ�����ƶ
��ˤ�������������ꡢ���ʤ����ͭ��ư������Ӷ�ƶ���ʬ�ۤ����ż���ζ�
�٤�ͭ������ˡ�ǵ������Ū�ʸ����Ԥ����ץ����������������

����ϡ��ʲ��˼�����®��ƶ�β��Ϥ�Ԥä���

\vspace{1cm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \includegraphics*[scale=1.0]{fig/PF_cavity.eps}
  \caption{���оζ�����ƶ��KEK��PF�ζ�ƶ��}
  \label{fig:pf_cavity}
 \end{center}
\end{figure}

���ζ�ƶ��ľ����47cm�ǡ����оι�¤�ˤʤäƤ��롣�ޤ����������ȿ���500MHz
���٤Ǥ��롣

%####################################################################
\chapter{ͭ������ˡ�ˤ���ż�����Ϥ�����}
%####################################################################
%====================================================================
\section{�ޥ����������������}
%====================================================================
%�ޥ�������������������顢����ݤ��Ʋ򤯤٤��������򵭽Ҥ��롣
%
%����ʸ����������ϡ����Τ褦�˽񤯡�������§���
%�ָ�����ư�Τ����ͭ������ˡ�δ��á�~\cite{������§_����ưͭ������ˡ�δ���}
%�˾ܤ����񤫤�Ƥ��롣
%====================================================================
�����Ǥϼ��оι�¤�ζ�����ƶ��ζ����⡼�ɤ��ż�����������򼨤������ξ�
�硢�����Ͽ����ǡ���°�ǰϤޤ줿���֤ˤʤ롣�������������ż���ϥޥ�����
������������ǵ��Ҥ���롣�������������ˤ��Ų٤���ή��̵���Ȥ�����郎��
���졢$\rho=0,\,\vm{j}=0$�Ȥʤ롣
%
\begin{align}
 &\div{\vm{D}}=0                      \label{eq:Maxwell_div_D} \\
 &\div{\vm{B}}=0                      \label{eq:Maxwell_div_B} \\
 &\rot{\vm{E}}= -\pdiff{1}{\vm{B}}{t} \label{eq:Maxwell_rot_E} \\
 &\rot{\vm{H}}= \pdiff{1}{\vm{D}}{t}  \label{eq:Maxwell_rot_H}
\end{align}
%
�ޤ���Ͷ��Ψ��Ʃ��Ψ�ϰ���ǡ����줾��$\varepsilon_0,\,\mu_0$�Ȥʤ롣��
���ơ�
%
\begin{align}
 \vm{D}=\varepsilon_0\vm{E} \label{eq:D_eq_eps_E} \\
 \vm{B}=\mu_0\vm{H}         \label{eq:B_eq_mu_H}
\end{align}
%
�δط������롣��(\ref{eq:Maxwell_div_D})��(\ref{eq:Maxwell_rot_H})��ϢΩ
������ʬ�������ʤΤǡ��׻����䤹������ľ����

�ޤ������������������롣���Τ���ˡ���(\ref{eq:Maxwell_rot_H})��ξ��
�˲�ž�α黻�Ҥ���Ѥ����롣��������ȡ�
%
\begin{align}
 \rot{\rot{\vm{H}}}
 &=\rot{\pdiff{1}{\vm{D}}{t}} \nonumber \\
 &=\pdiff{1}{}{t}\left(\rot{\varepsilon_0\vm{E}}\right) \nonumber \\
 &=-\varepsilon_0\pdiff{1}{}{t}\left(\pdiff{1}{\vm{B}}{t}\right)
 \nonumber \\
 &=-\mu_0\varepsilon_0\pdiff{2}{\vm{H}}{t}
\end{align}
%
�Ȥʤ롣����ϡ���ư�������Ǥ��롣�ż��Ȥ�®�٤ϸ�®$c$�ǡ�������������
��
%
\begin{align}
 \mu_0\varepsilon_0=\frac{1}{c^2}
\end{align}
%
�Ȥʤ롣���äơ�����$H$���������������ϡ�
%
\begin{align}
 \rot{\rot{\vm{H}}}=-\frac{1}{c^2}\pdiff{2}{\vm{H}}{t}
 \label{eq:wave_equation}
\end{align}
%
�Ȥʤ롣

���μ��⡢���Ȼ��֤�ξ���ι������ʬ�������ʤΤǡ��򤯤ΤϺ���Ǥ��롣
���Τ��ᡢ
%
\begin{align}
 \vm{H}(\vm{r},t)=\vm{H}(\vm{r})f(t)
 \label{eq:hensuubunri}
\end{align}
%
���ѿ�ʬΥ���Ǥ��뤫�ͤ��롣��(\ref{eq:hensuubunri})��
(\ref{eq:wave_equation})��������
%
\begin{align}
 \nabla\times\nabla\times\left\{\vm{H}(\vm{r})f(t)\right\}
 =
 -\frac{1}{c^2}\pdiff{2}{}{t}\left\{\vm{H}(\vm{r})f(t)\right\}
\end{align}
%
�Ȥʤꡢ���֤ȶ��֤���ʬ��ͤ����
%
\begin{align}
 f(t)\nabla\times\nabla\times\left\{\vm{H}(\vm{r})\right\}
 =
 -\vm{H}(\vm{r})\frac{1}{c^2}\pdiff{2}{}{t}\left\{f(t)\right\}
 \label{eq:hensubunri_diff_equation}
\end{align}
%
�Ȥʤ롣�ʹߡ����Ǥ˵��Ҥ��뤿��ˡ�����ζ��֤δؿ���$\vm{H}(\vm{r})$��
$\vm{H}_{\vm{r}}$�ȡ����֤δؿ�$f(t)$��$f_t$�Ȥ��롣�ѿ�ʬΥ�򤹤�Τǡ�
���դȱ��դ���ֵڤӶ��֤Τߤδؿ��ˤ������櫓�������٥��ȥ�α黻�Ȥ���
���Ȥ��θ�������μ���ξ�դ�
$\vm{H}_{\vm{r}}/(\vm{H}_{\vm{r}}\cdot\vm{H}_{\vm{r}})$�ʤ�٥��ȥ����
�Ѥα黻��ܤ��������
%
\begin{align}
 f_t\frac{\vm{H}_{\vm{r}}}{\vm{H}_{\vm{r}}\cdot\vm{H}_{\vm{r}}}\cdot\left\{\nabla\times\nabla\times\vm{H}_{\vm{r}}\right\}
 =
 -\frac{\vm{H}_{\vm{r}}\cdot\vm{H}_{\vm{r}}}{\vm{H}_{\vm{r}}\cdot\vm{H}_{\vm{r}}}\frac{1}{c^2}\pdiff{2}{f_t}{t}
\end{align}
%
�Ȥʤ롣�������������ȡ�
%
\begin{align}
 \frac{\vm{H}_{\vm{r}}}{\vm{H}_{\vm{r}}\cdot\vm{H}_{\vm{r}}}\cdot\left\{\nabla\times\nabla\times\vm{H}_{\vm{r}}\right\}
 =
 -\frac{1}{f_t}\frac{1}{c^2}\pdiff{2}{f_t}{t}
\end{align}
%
�Ǥ��롣��������ʬ�������ϡ����դ϶���$\vm{r}$�����դϻ���$t$�Τߤδؿ�
�Ǥ��롣���줾���̤���Ω�ѿ��ȤʤäƤ���Τǡ���������������Ω�Ĥ���ˤϡ�
�����ͤ�����Ǥʤ��ƤϤʤ�ʤ������������$\omega^2/c^2$�Ȥ���
\footnote{$\omega^2/c^2$��2��ˤ���Τϡ���η׻�����ñ�ˤʤ뤫��Ǥ��롣
$\omega$��ʣ�ǿ����ϰϤޤǹͤ���ȡ����������$a$�Ȥ���Τ�Ʊ���Ǥ��롣}��
��������ȡ�
%
\begin{align}
 \frac{\vm{H}_{\vm{r}}}{\vm{H}_{\vm{r}}\cdot\vm{H}_{\vm{r}}}\cdot\left\{\nabla\times\nabla\times\vm{H}_{\vm{r}}\right\}
 =
 -\frac{1}{f_t}\frac{1}{c^2}\pdiff{2}{f_t}{t}
=\frac{\omega^2}{c^2}
\end{align}
%
�Ǥ��롣2���ܤ�3���ܤμ����顢���֤Τߤ���ʬ���������Ĥ���졢����Ϥ��
������ʬ�������ǤϤʤ�������ʬ������
%
\begin{align}
\frac{d^2f_t}{dt^2}=-\omega^2{f_t}
\end{align}
%
�ˤʤ롣������ʬ�������ϡ���ñ�˲򤱤�
%
\begin{align}
 f_t=ae^{-i\omega t+\theta_0}
 \label{eq:time_dependance}
\end{align}
%
�Ȥʤ롣�����ǡ�$a$��$\theta_0$�Ͻ�����ˤ���ޤ�����Ǥ��롣����ǡ�
�ѿ�ʬΥ������(\ref{eq:hensuubunri})�λ��֤ιब��ޤä������λ��֤ι�ϡ�
���Ѵؿ��ˤʤäƤ��롣

�Ĥ�ζ��֤ι�$\vm{H}_{\vm{r}}$�ˤĤ��ƹͤ��ʤ��Ƥʤ�ʤ������줬������
����ʬ�����������뤿��ˡ����֤ι�η�̤Ǥ��뼰(\ref{eq:time_dependance})
�򡢼�(\ref{eq:hensubunri_diff_equation})��Ŭ�Ѥ��롣����ȡ�
%
\begin{align}
 ae^{-i\omega t+\theta_0}\left[\nabla\times\nabla\times\vm{H}_{\vm{r}}\right]
 =
 -\vm{H}_{\vm{r}}\frac{1}{c^2}\pdiff{2}{}{t}\left(ae^{-i\omega
 t+\theta_0}\right)
\end{align}
%
�Ȥʤ롣���֤ι����ʬ��Ԥ��ȡ�
%
\begin{align}
 ae^{-i\omega t+\theta_0}\left[\nabla\times\nabla\times\vm{H}_{\vm{r}}\right]
 =
 \vm{H}_{\vm{r}}\frac{\omega^2}{c^2}\left(ae^{-i\omega t+\theta_0}\right)
 \label{eq:neglect_time_derivatime}
\end{align}
%
�Ȥʤ롣¨�����֤���ʬ$(\partial/\partial t)$�ϡ�$-i\omega$���֤�������
���ΤǤ��롣�������������ȡ�
%
\begin{align}
 \nabla\times\nabla\times\vm{H}_{\vm{r}}
 =\left(\frac{\omega}{c}\right)^2\vm{H}_{\vm{r}}
 \label{eq:rot_rot_H_eq_k_H}
\end{align}
%
�Ȥʤ롣���줬������ζ��֤�����ʬϢΩ�������ǡ���������ݤ��Ʋ򤯤���
�ˤʤ롣���β�ϼ���ζ���ʬ�ۤ�ɽ��������ȡ���(\ref{eq:time_dependance})
��ݤ����碌����Τ��ºݤ��ż���ξ��֤�ɽ����

�����������β���ȤˤʤäƤ��ꡢ�ż����ʣ�ǿ��ǽ񤫤��Τ����̤Ǥ��롣
���äơ���(\ref{eq:rot_rot_H_eq_k_H})��$\vm{H}_{\vm{r}}$��ʣ�ǿ��Ǥ��롣
�����¿����ȵ�����
%
\begin{align}
 &\Re({\vm{H}_{\vm{r}}})=\vm{H}_r \\
 &\Im({\vm{H}_{\vm{r}}})=\vm{H}_i
\end{align}
%
�Ȥ��롣������Ȥäơ���(\ref{eq:rot_rot_H_eq_k_H})��¿����ȵ�������
ʬ�����������ˤ���ȡ�
%
\begin{align}
 &\nabla\times\nabla\times\vm{H}_r=\frac{\omega^2}{c^2}\vm{H}_r \\
 &\nabla\times\nabla\times\vm{H}_i=\frac{\omega^2}{c^2}\vm{H}_i
\end{align}
�Ȥʤ롣��(\ref{eq:rot_rot_H_eq_k_H})�ϡ�����2�Ĥ���ʬ��������ޤ�Ǥ��롣

�����(Standing Wave)�ξ��ϡ��¿����Τߤ�ͤ��롣����ϼ¿��Ȥ���Τ�
���롣�������Ȥ��Ƥ��ɤ��������ޤǤδ����Ǽ¿����ΤߤȤ�����ˤʤäƤ��롣

�ʾ�ǡ�������ż���μ��줬�������٤��������򼨤��������������Ʊ����ˡ
�ǡ��ž줬ɽ����������׻��Ǥ��롣�����
%
\begin{align}
 \nabla\times\nabla\times\vm{E}_{\vm{r}}
 =\left(\frac{\omega}{c}\right)^2\vm{E}_{\vm{r}}
 \label{eq:rot_rot_E_eq_k_E}
\end{align}
%
�Ȥʤ롣

�ż���ʬ�ۤ�ɽ���������ϡ������ɽ����(\ref{eq:rot_rot_H_eq_k_H})���ž�
��ɽ����(\ref{eq:rot_rot_E_eq_k_E})�����롣���줾��ϡ���Ω�ǤϤʤ��ޥ�
����������������μ�(\ref{eq:Maxwell_rot_E})��(\ref{eq:Maxwell_rot_H})��
��Ϣ�Ť����Ƥ��롣��������ͤ��׻����䤹�����ξ���ᡢ�⤦�����ξ�
�ϥޥ����������������������(��ʬ)���뤳�Ȥˤ��׻����뤳�Ȥˤʤ롣


%====================================================================
\section{�ƴؿ�}
%====================================================================
%�ƴؿ��򼨤������������ʬ�������Ȥʤ����Ƴ���������顼������������˼�������
%���٤����������������Ȥ������Ȥ򼨤�����碌�ƶ������ˤĤ��Ƥ⵭�Ҥ��롣
%
����ζ���ʬ�ۤ򼨤���(\ref{eq:rot_rot_H_eq_k_H})���ƴؿ��򼨤���

��(\ref{eq:rot_rot_H_eq_k_H})���ƴؿ���
%
\begin{align}
 F[\vm{H}]
 =\int\left[ \left(\rot{\vm{H}}\right)\cdot\left(\rot{\vm{H}^\ast}\right)
 -\left(\frac{\omega}{c}\right)^2\vm{H}\cdot\vm{H}^\ast\right]dV
 \label{eq:general_func_RF_H}
\end{align}
%
�Ǥ��롣�����ǡ�$\vm{H}$�ϼ���ζ���ʬ�ۤǤ��롣��
(\ref{eq:rot_rot_H_eq_k_H})�Ǥ�$\vm{H}_{\vm{r}}$�Ȥ��Ƥ��������ʷ�˵���
���뤿��ˡ�ź������$\vm{r}$��ʤ����Ȥˤ��롣�ޤ����������ꥹ��$\ast$��
ʣ�Ƕ���(complex conjugate)��ɽ�������Τ褦��ʣ�Ƕ����Ȥ��ȡ��ƴؿ���
�¿��ˤʤꡢ�׻�����ñ�ˤʤ롣�ޤ����ƴؿ��ϥ��ͥ륮���˴ط����Ƥ��뤳��
��¿�������Τ褦�ˤ���ȼ���Υ��ͥ륮���˴ط������̤ˤʤ롣

����Ǥϡ����μ�����1 ��ʬ�������ˤʤ��郎��(\ref{eq:rot_rot_H_eq_k_H})
����­���뤫�ɤ���Ĵ�٤롣�����ʬ�ϡ�$\vm{H}$��$\delta\vm{H}$�Ѳ�������
�Ȥ��������Ѳ��̤�
%
\begin{align}
 \delta F&=F[\vm{H}+\delta\vm{H}]-F[\vm{H}]
 \nonumber \\
%----------------
 &=\int \left[ 
 \left\{\nabla\times\left(\vm{H}+\delta\vm{H}\right)\right\}
 \cdot
 \left\{\nabla\times\left(\vm{H}^\ast+\delta\vm{H}^\ast\right)\right\}
 -\left(\frac{\omega}{c}\right)^2
 \left(\vm{H}+\delta\vm{H}\right)
 \cdot
 \left(\vm{H}^\ast+\delta\vm{H}^\ast\right)
 \right]dV \nonumber \\
%
 &\qquad\qquad -\int \left[ 
 \left(\rot{\vm{H}}\right)\cdot\left(\rot{\vm{H}^\ast}\right)
 -\left(\frac{\omega}{c}\right)^2\vm{H}\cdot\vm{H}^\ast\right]
 dV \nonumber \\
%----------------
 &\qquad\qquad\text{2���������̤�̵�뤹���} \nonumber \\
%----------------
 &=\int \left[ 
 \left(\rot{\vm{H}}\right)\cdot\left(\rot{\delta\vm{H}^\ast}\right)+
 \left(\rot{\vm{H}^\ast}\right)\cdot\left(\rot{\delta\vm{H}}\right)
 -\left(\frac{\omega}{c}\right)^2\left\{
 \vm{H}\cdot\delta\vm{H}^\ast+
 \vm{H}^\ast\cdot\delta\vm{H}
 \right\}
 \right]dV
 \nonumber \\
%----------------
 &\qquad\qquad\text{�٥��ȥ빱����
 $\div{(\vm{V}\times\vm{W})}=\vm{W}\cdot(\rot\vm{V})-\vm{V}\cdot(\rot\vm{W})$��
 �Ȥ�}\nonumber \\
 &\qquad\qquad\text{$\vm{V}=(\rot{\vm{H}})$���뤤��
 $(\rot{\vm{H}}^\ast),\quad\vm{W}=\delta\vm{H}^\ast$���뤤��
 $\delta\vm{H}$�Ȥ��롣}
 \nonumber \\
%----------------
 &=\int \left[ 
 -\nabla\cdot\left\{(\rot{\vm{H}})\times\delta\vm{H}^\ast\right\}
 +\delta\vm{H}^\ast\cdot\left\{\nabla\times(\nabla\times\vm{H})\right\}
 -\left(\frac{\omega}{c}\right)^2(\vm{H}\cdot\delta\vm{H}^\ast)
 \right]dV
 \nonumber \\
%
 &\qquad\qquad+\int \left[ 
 -\nabla\cdot\left\{(\rot{\vm{H}^\ast})\times\delta\vm{H}\right\}
 +\delta\vm{H}\cdot\left\{\nabla\times(\nabla\times\vm{H}^\ast)\right\}
 -\left(\frac{\omega}{c}\right)^2(\vm{H}^\ast\cdot\delta\vm{H})
 \right]dV
 \nonumber \\
%----------------
&\qquad\qquad\text{���μ���ȯ��������Ȥ����������������}\nonumber \\
%----------------
 &=-\int \left[ 
 (\rot{\vm{H}})\times\delta\vm{H}^\ast+
 (\rot{\vm{H}^\ast})\times\delta\vm{H}
 \right]\cdot\vm{n}dS+
 \nonumber \\
%
 &\qquad\qquad
 \int \left[ 
 \left\{\nabla\times\nabla\times\vm{H}
 -\left(\frac{\omega}{c}\right)^2 \vm{H}\right\}\cdot\delta\vm{H}^\ast+
 \left\{\nabla\times\nabla\times\vm{H}^\ast
 -\left(\frac{\omega}{c}\right)^2 \vm{H}^\ast\right\}\cdot\delta\vm{H}
 \right]dV
 \label{eq:first_variation}
\end{align}
%
�Ȥʤ롣

�����ǡ�Ǥ�դ�$\delta\vm{H}$���Ф��ơ����������ʬ$\delta F$�������ˤʤ�
����ͤ��롣������������δؿ���ʣ�ǿ��ˤʤäƤ��롣��1��ʬ$\delta F$
�ϼ¿��Ǥ��뤬��$\vm{H}$��$\delta\vm{H}$��ʣ�ǿ��Ǥ��롣����ʣ�ǿ��μ¿�
���ȵ��������Ѳ����Ф��ơ���1��ʬ�������Ȥʤ�ʤ��ƤϤʤ�ʤ����狼���
�������뤿��ˡ�ʣ�ǿ��ˤʤäƤ�����ʬ��
%
\begin{align}
 &\vm{H}=\vm{H}_r+i\vm{H}_i \\
 &\delta\vm{H}=\delta\vm{H}_r+i\delta\vm{H}_i
\end{align}
%
�ȼ¿����ȵ�������ʬ���롣�����򡢼�(\ref{eq:first_variation})��������
��ȡ�
\begin{align}
 \delta F&=
 -2\int \left[ 
 (\rot{\vm{H}_r})\times\delta\vm{H}_r+
 (\rot{\vm{H}_i})\times\delta\vm{H}_i
 \right]\cdot\vm{n}dS+
 \nonumber \\
%
 &\qquad\qquad
 2\int \left[ 
 \left\{\nabla\times\nabla\times\vm{H}_r
 -\left(\frac{\omega}{c}\right)^2 \vm{H}_r\right\}\cdot\delta\vm{H}_r+
 \left\{\nabla\times\nabla\times\vm{H}_i
 -\left(\frac{\omega}{c}\right)^2 \vm{H}_i\right\}\cdot\delta\vm{H}_i
 \right]dV
\end{align}
%
�Ȥʤ롣���줬���¿����ȵ�������ʬ�����ƴؿ�����1��ʬ�Ǥ��롣�������
Ǥ�դ�$\delta\vm{H}$���Ф��ơ����줬�����ˤʤ����ͤ���ΤǤ��롣Ǥ��
��$\delta\vm{H}$�ȸ������Ȥϡ�Ǥ�դ�$\delta\vm{H}_r$��$\delta\vm{H}_i$��
�Ф��ơ���1��ʬ�������ˤʤ����õ���ΤǤ��롣

���Τ���ˤϡ����μ��α�����1���2�ब�Ȥ�˥����ˤʤ�ʤ��ƤϤʤ�ʤ���
������1��ϡ���������ɽ����
%
\begin{equation}
 \left\{
  \begin{aligned}
   &(\rot{\vm{H}_r})\times\vm{n}=0 &\text{�ޤ���}\qquad &\delta\vm{H}_r=0��\\
   &\qquad\qquad\text{����} \\
   &(\rot{\vm{H}_i})\times\vm{n}=0 &\text{�ޤ���}\qquad &\delta\vm{H}_i=0 \\
  \end{aligned}
 \right.
\end{equation}
%
�ξ�硢�����Ȥʤ롣�̾�ϡ�$(\rot{H})\times\vm{n}=0$�Ȥ��롣���줬����
�������ǡ��Υ��ޥ���Ȥʤ롣���μ���β�ž�ϡ���
(\ref{eq:Maxwell_rot_H})��ꡢ$\rot{H}=i\omega\varepsilon_0\vm{E}$�Ȥʤ롣
���äơ��Υ��ޥ���ϡ�$\vm{E}\times\vm{n}$�Ƚ�ľ�����Ȥ��Ǥ��롣����
������ž�ȶ�����ˡ�����������פ���ΤǤ��롣����ϡ���°�ζ������Ǥ�
�롣���ʤ������������ꤷ�ʤ���С������˶�°�ζ�����郎��­�����Τ�
���롣������$\delta\vm{H}=0$�ϥǥ��ꥯ����ǡ��������ͤ���ꤷ������
���롣

��2�ब�����Ȥʤ�Τϡ�
%
\begin{equation}
 \left\{
  \begin{aligned}
   &\nabla\times\nabla\times\vm{H}_r-
   \left(\frac{\omega}{c}\right)^2 \vm{H}_r=0 \\
   &\qquad\qquad\text{����} \\
   &\nabla\times\nabla\times\vm{H}_i-
   \left(\frac{\omega}{c}\right)^2 \vm{H}_i=0
  \end{aligned}
 \right.
\end{equation}
%
�Ȥʤ�ɬ�פ����롣����ϡ��ޥ��������������������Ƴ���줿���������ʬ��
����(\ref{eq:rot_rot_E_eq_k_E})������Ʊ���Ǥ��롣

�ʾ�Τ��Ȥ��顢����Ȥ��ż���μ����׻����뤿��ˤϡ���
(\ref{eq:general_func_RF_H})�������ʬ�򥼥��ˤ���Ф褤���Ȥ�ʬ���롣��
����Υޥ�����������������ϡ���(\ref{eq:general_func_RF_H})����1��ʬ��
�����ˤ���Τ��������ΤǤ��롣


�����Ǥϡ����оζ�ƶ�������ż������뤿����ƴؿ��򼨤�������������
�˸¤��ΤȤ��롣

���о�����Ǥ��̾�����ɸ�Ϥ�Ȥ������ξ�硢��ƶ�η����ϴ������оΤ�
���롣����Ȥξ�硢����ϼ¿��Ȥ��Ƽ�갷�����Ȥ��Ǥ��롣��
(\ref{eq:general_func_RF_H})�Ǥ�\htmladdnormallink{�����ɸ�Ϥβ�ž} 
{http://www.akita-nct.jp/~yamamoto/study/electromagnetics/coodinate\_tra 
nsform/html/node6.html\#SECTION00062000000000000000}�α黻��ɽ�졢�����
%
\begin{align}
 \rot{\vm{H}}&=
   \left[ \frac{1}{r}\pdiff{1}{H_z}{\theta}-\pdiff{1}{H_{\theta}}{z}\right]
   \hat{\vm{r}}+
   \left[ \pdiff{1}{H_r}{z}-\pdiff{1}{H_z}{r}\right]
   \hat{\vm{\theta}}+
   \frac{1}{r}
   \left[ \pdiff{1}{}{r}(rH_{\theta})-\pdiff{1}{H_r}{\theta}\right]
   \hat{\vm{z}}
 \label{eq:cylindrical_rot_H}
\end{align}
%
�Ǥ��롣

���̤ˤϡ�������ƴؿ��μ�(\ref{eq:general_func_RF_H})���������뤳�Ȥ�
�ʤ롣���������̾�ζ�ƶ�ǤϺǤⶦ�����ȿ����㤤�⡼�ɤ����פˤʤ롣����
������ž�⡼�ɤȤʤꡢ������˲��Ϥ������⡼�ɤǤ��롣���Υ⡼�ɤϡ��줬
$\hat{\vm{\theta}}$�����ΰ�¸����������������$H_{\theta}$�ΤߤǤ��롣
���Υ⡼�ɤμ���β�ž�ϡ�
%
\begin{align}
 \rot{\vm{H}}&=
   \left[ -\pdiff{1}{H_{\theta}}{z}\right]\hat{\vm{r}}+
   \frac{1}{r}\left[ \pdiff{1}{}{r}(rH_{\theta})\right]\hat{\vm{z}}
 \nonumber \\
 &=\left(-\pdiff{1}{H_{\theta}}{z}\right)\hat{\vm{r}}+
 \left(\frac{H_\theta}{r}+\pdiff{1}{H_\theta}{r}\right)\hat{\vm{z}}
 \label{eq:cylindrical_rot_H_only_theta}
\end{align}
%
�Ȥʤ롣���β�ž�η�̤��ƴؿ��μ�(\ref{eq:general_func_RF_H})��Ŭ�Ѥ���
�ȡ�
%
\begin{align}
F[H_\theta]
 &=\int \left[ \left(\pdiff{1}{H_{\theta}}{z}\right)^2
   +
   \left(\frac{H_\theta}{r}+\pdiff{1}{H_\theta}{r}\right)^2
 -\left(\frac{\omega}{c}\right)^2 H_\theta^2\right]dV
 \nonumber \\
 &=\int \left[ \left(\pdiff{1}{H_{\theta}}{z}\right)^2
 +\left(\pdiff{1}{H_\theta}{r}\right)^2
 +2\frac{H_\theta}{r}\pdiff{1}{H_\theta}{r}
 +\left(\frac{H_\theta}{r}\right)^2
 -\left(\frac{\omega}{c}\right)^2 H_\theta^2\right]2\pi rdrdz
 \label{eq:Lagrangian_cavity_sw}
\end{align}
%
�Ȥʤ롣

%====================================================================
\section{Υ����}
%====================================================================
%�׻����Ƿ׻����뤿���Υ������������Ƴ����
%
�إ��ۥ����������ͭ������ˡ�ˤ�äƸ�ͭ������ˤ���ȡ�
\begin{align}
 \vm{Ku} = \lambda \vm{Mu}
 \label{eq:generalized_eigenvalue_problem}
\end{align}
�Ȥ������ΰ��̲���ͭ������ˤʤ롣�����ǡ��ǥ��쥯������Ƽ��ǥ��쥯��
���Ȥ��� �������ֹ�ϡ��ǥ��쥯���郎�Ǹ�ˤʤäƤ����ΤȤ��롣 ��
�ʤ�����ǥ��쥯����ʳ���������1�֤���$m$�֤ޤǡ� $m+1$�֤���$n$�֤�
�Ǥϡ��Ƽ��ǥ��쥯����Ȥ��롣 ���Τ褦��������ǡ�$m$��$m$��ι���
��ʲ��Τ褦�ˤ��ƤĤ��롣

��������\ref{eq:Lagrangian_cavity_sw}�˼����ѷ����롣$\displaystyle 
\lambda=\left(\frac{\omega}{c}\right)^2$��$u=H_\theta$ �Ȥ������ޤ���
$2\pi$������ʤΤǾ�ά���롣
\begin{align}
 J = \iint_D r\left\{ 
 \left(\pdiff{1}{u}{r}\right)^2 + \left(\pdiff{1}{u}{z}\right)^2
 \right\} drdz
 + 2\iint_D u \pdiff{1}{u}{r} drdz
 + \iint_D \frac{u^2}{r} drdz
 - \lambda \iint_D ru^2 drdz
 \label{eq:Lagrangian_cavity_sw_2}
\end{align}

���μ�����ʬ�ΰ�򡢻��ѷ�1�����Ǥ�ʬ�䤷�Ʒ׻����롣�����ǡ������ֹ� 
$i$��$j$��$k$ ����Ļ��ѷ��ˤ����ơ��ֹ� $i$ �����Ǥ� $u$ �� $u_i$ ��ɽ
�����Ȥˤ��롣���Τ褦�ˤ��ơ�����ƴؿ��������Ѳ�����ʬ�ˤ�0�Ȥʤ���
�׻����롣

�� (\ref{eq:Lagrangian_cavity_sw_2}) ����ʬ�ϡ������ѷ����ǡ�$(I)$��
$(J)$��$\cdots$�ˤ��¤Ǽ��Τ褦��ɽ�����Ȥ��Ǥ��롣
\begin{align}
 \pdiff{1}{J[u]}{u_i}
 &= \pdiff{1}{}{u_i} \left[  \iint_{(I)} r\left\{ \left(\pdiff{1}{u}{r}\right)^2
 + \left(\pdiff{1}{u}{z}\right)^2 \right\} drdz
 + 2\iint_{(I)} u \pdiff{1}{u}{r} drdz + \iint_{(I)} \frac{u^2}{r} drdz
 - \lambda \iint_{(I)} ru^2 drdz \right] \nonumber \\
 &+ \pdiff{1}{}{u_i}
 \left[  \iint_{(J)} r\left\{ \left(\pdiff{1}{u}{r}\right)^2
 + \left(\pdiff{1}{u}{z}\right)^2 \right\} drdz
 + 2\iint_{(J)} u \pdiff{1}{u}{r} drdz + \iint_{(J)} \frac{u^2}{r} drdz
 - \lambda \iint_{(J)} ru^2 drdz \right] \nonumber \\
 &+ \cdots
 \label{eq:Lagrangian_variation}
\end{align}
�äˡ����� $(I)$ �δ�Ϳ�ˤ���Τߤ�񤭽Ф���
\begin{align}
  \pdiff{1}{J[u]}{u_i} \Bigg|_{(I)}
 = \pdiff{1}{}{u_i} \left[ \iint_{(I)} r\left\{ \left(\pdiff{1}{u}{r}\right)^2
 + \left(\pdiff{1}{u}{z}\right)^2 \right\} drdz
 + 2\iint_{(I)} u \pdiff{1}{u}{r} drdz + \iint_{(I)} \frac{u^2}{r} drdz
 - \lambda \iint_{(I)} ru^2 drdz \right]
 \label{eq:Lagrangian_variation_I}
\end{align}

�弰����ʬ���İ�ķ׻����Ƥ����� 
\begin{align}
 \pdiff{1}{}{u_i} \iint_{(I)} r\left\{\left(\pdiff{1}{u}{r}\right)^2
 +  \left(\pdiff{1}{u}{z}\right)^2\right\} drdz
 &= 2\iint_{(I)} r\,drdz \left(\pdiff{1}{\phi_i}{r}\pdiff{1}{\phi_i}{r}
 +  \pdiff{1}{\phi_i}{z}\pdiff{1}{\phi_i}{z}\right) u_i \nonumber \\
 &+ 2\iint_{(I)} r\,drdz \left(\pdiff{1}{\phi_i}{r}\pdiff{1}{\phi_j}{r}
 +  \pdiff{1}{\phi_j}{z}\pdiff{1}{\phi_i}{z}\right) u_j \nonumber \\
 &+ 2\iint_{(I)} r\,drdz \left(\pdiff{1}{\phi_i}{r}\pdiff{1}{\phi_k}{r}
 +  \pdiff{1}{\phi_k}{z}\pdiff{1}{\phi_i}{z}\right) u_k
 \label{eq:Lagrangian_variation_I_1}
\end{align}
\begin{align}
 \pdiff{1}{}{u_i} \iint_{(I)} u\pdiff{1}{u}{r} drdz
 &= \iint_{(I)} \left(\phi_i\pdiff{1}{\phi_i}{r}
 +  \phi_i\pdiff{1}{\phi_i}{r}\right) drdz \, u_i \nonumber \\
 &+ \iint_{(I)} \left(\phi_i\pdiff{1}{\phi_j}{r}
 +  \phi_j\pdiff{1}{\phi_i}{r}\right) drdz \, u_j \nonumber \\
 &+ \iint_{(I)} \left(\phi_i\pdiff{1}{\phi_k}{r}
 +  \phi_k\pdiff{1}{\phi_i}{r}\right) drdz \, u_k
 \label{eq:Lagrangian_variation_I_2}
\end{align}
\begin{align}
 \pdiff{1}{}{u_i} \iint_{(I)} \frac{u^2}{r} drdz
 = 2\iint_{(I)} \frac{1}{r}\phi_i\phi_i drdz\,u_i
 + 2\iint_{(I)} \frac{1}{r}\phi_i\phi_j drdz\,u_j
 + 2\iint_{(I)} \frac{1}{r}\phi_i\phi_k drdz\,u_k
 \label{eq:Lagrangian_variation_I_3}
\end{align}
\begin{align}
 \pdiff{1}{}{u_i} \iint_{(I)} ru^2 drdz
 = 2\iint_{(I)} r\phi_i\phi_i drdz \, u_i
 = 2\iint_{(I)} r\phi_i\phi_j drdz \, u_j
 = 2\iint_{(I)} r\phi_i\phi_k drdz \, u_k
 \label{eq:Lagrangian_variation_I_4}
\end{align}
����򸵤˹�������Ǥ����Ȱʲ��Τ褦�ˤʤ롣
\begin{gather}
 k_{ij}|_{(I)}
 = \left(\pdiff{1}{\phi_i}{r}\pdiff{1}{\phi_j}{r}
 +  \pdiff{1}{\phi_i}{z}\pdiff{1}{\phi_j}{z}\right) \iint_{(I)} r\,drdz
 +  \iint_{(I)} \left(\phi_i\pdiff{1}{\phi_j}{r}
 +  \phi_j\pdiff{1}{\phi_i}{r}\right) drdz
 +  \iint_{(I)} \frac{1}{r}\phi_i\phi_j drdz
 \label{eq:matrix_element_k} \\
 m_{ij}|_{(I)}
 = \iint_{(I)} r\phi_i\phi_j drdz
 \label{eq:matrix_element_m}
\end{gather}

�����ǡ�$\phi$ �ϻ��ѷ�������1��������뤿��δؿ��ǡ������ؿ��ȸƤФ��
��ΤǤ��롣�ܺ٤ϸ���Ȼ�ͻ�Ρ���ʬˡ��ͭ������ˡ��~\cite{vm_and_fem} 
�򻲹ͤˤ��Ƥ�餤������
\begin{align}
 \phi_i = 
 \frac{1}{\Delta}\begin{vmatrix} 1 & z & r \\ 1 & z_j & r_j \\ 1 & z_k & r_k \end{vmatrix}
\end{align}
$\Delta$ �ϻ��ѷ������Ѥ�2�ܤǡ�
\begin{align}
 \Delta = r_i z_j + r_j z_k + r_k z_i - z_i r_j - z_j r_k - z_k r_i
 \label{eq:delta}
\end{align}
�Ȥʤ롣�������ʬ��׻����롣�����μ�����ʬ�ϰϤϻ��ѷ����Ǥ������Ǥ�
�롣��Ȥ��ƿ�\ref{fig:integrate_triangle} �Τ褦�ʻ��ѷ��ǹͤ��롣����
���γ��դ�1���ؿ� $f_a$��$f_b$��$f_c$ ��ɽ���ȡ����Τ褦�˽񤱤롣
\begin{align}
 f_a &= \frac{r_k-r_j}{z_k-z_j}(z-z_j)+r_j \\
 f_b &= \frac{r_i-r_j}{z_i-z_j}(z-z_j)+r_j \\
 f_c &= \frac{r_k-r_i}{z_k-z_i}(z-z_i)+r_i
 \label{eq:triangle_edge}
\end{align}
��äơ����ѷ���������ʬ�ϰϤϼ��Τ褦�ˤʤ롣
\begin{align}
 \iint drdz
 = \int_{z_j}^{z_i}\!\!\int_{f_a}^{f_b}drdz
 + \int_{z_i}^{z_k}\!\!\int_{f_a}^{f_c}drdz
 \label{eq:integrate_triangle}
\end{align}
����ˤ������äơ���ʬ��׻����Ƥ�����

\vspace{1cm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \includegraphics*[scale=0.5]{fig/integrate_triangle.eps}
  \caption{��ʬ���뻰�ѷ��ΰ�}
  \label{fig:integrate_triangle}
 \end{center}
\end{figure}

\begin{gather}
 \iint_{(I)} r\,drdz \left( \pdiff{1}{\phi_i}{r}\pdiff{1}{\phi_i}{r}
 + \pdiff{1}{\phi_i}{z}\pdiff{1}{\phi_i}{z} \right)
 = \frac{1}{6\Delta}(r_i+r_j+r_k)[(z_j-z_k)(z_k-z_i)+(r_j-r_k)(r_k-r_i)]
 \label{eq:matrix_element_k_1} \\
 \iint_{(I)} \left(\phi_i\pdiff{1}{\phi_j}{r}
 + \phi_j\pdiff{1}{\phi_i}{r}\right) drdz
 = \frac{z_j-z_k}{6}+\frac{z_k-z_i}{6}
 \label{eq:matrix_element_k_2}
\end{gather}
���η׻��Ͼ�������η׻��򤹤롣 $r_0$ �ϻ��ѷ��νſ���ɸ�ʤΤ� 
$r_0=(r_i+r_j+r_k)/3$ �Ǥ��롣
\begin{align}
 \iint_{(I)} \frac{1}{r}\phi_i\phi_i drdz
 &= \frac{1}{r_0} \iint_{(I)} \phi_i\phi_i drdz \nonumber \\
 &= \begin{cases}
	 \displaystyle \frac{1}{r_0}\frac{1}{24\Delta} & (i \ne j) \\ \\
	 \displaystyle \frac{1}{r_0}\frac{1}{12\Delta} & (i=j)
	\end{cases}
 \label{eq:matrix_element_k_3}
\end{align}
\begin{align}
 \iint_{(I)} r\phi_i\phi_j drdz =
 \begin{cases}
  \displaystyle \frac{1}{120}(2r_i+2r_j+r_k)\Delta & (i \ne j) \\ \\
  \displaystyle \frac{1}{60}(3r_i+r_j+r_k)\Delta   & (i=j)
 \end{cases}
 \label{eq:matrix_element_k_4}
\end{align}
�ʾ�η׻���ꡢ���� $\vm{K}$ ����� $\vm{M}$ ��
\begin{align}
 k_{ii}|_{(I)}
 &= \frac{1}{6\Delta}(r_i+r_j+r_k)[(z_j-z_k)^2+(r_j-r_k)^2] \nonumber \\
 &+ \frac{z_j-z_k}{3} \nonumber \\
 &+ \frac{1}{r_0}\frac{1}{12\Delta}
 \label{eq:matrix_element_k_ii} \\
 k_{ij}|_{(I)}
 &= \frac{1}{6\Delta}(r_i+r_j+r_k)[(z_j-z_k)(z_k-z_i)+(r_j-r_k)(r_k-r_i)] \nonumber \\
 &+ \frac{z_j-z_k}{6} + \frac{z_k-z_i}{6} \nonumber \\
 &+ \frac{1}{r_0}\frac{1}{24\Delta}
 \label{eq:matrix_element_k_ij} \\
 m_{ii}|_{(I)} &= \frac{1}{120}(2r_i+2r_j+r_k)\Delta
 \label{eq:matrix_element_m_ii} \\
 m_{ij}|_{(I)} &= \frac{1}{60}(3r_i+r_j+r_k)\Delta
 \label{eq:matrix_element_m_ij} 
\end{align}
�Ȥ��Ʒ���Ǥ��롣

���Τ褦�ˤ�������줿���󤫤顢��ͭ�����꤬Ϳ�����롣����Ϥ������
����ˡ���Ѥ��Ʒ׻�������

%====================================================================
\section{�ž�η׻�}
%====================================================================
%���줫���ž����뼰��Ƴ����
%
�ޥ������������������Υ�������ơ�����ϵ���줿������������������Ǥ�
���ž�����ɬ�פ����롣�ž�ϡ��������ʬ����������롣�����Ǥϡ�Υ
��Ū�˵���줿�������ʬ��׻�������ˡ�ˤĤ��ƽҤ٤롣

������ƶ������ˤ����ơ��ž����뼰�ϼ��Τ褦�˽񤱤롣
\begin{align}
 &\vm{E}=\frac{i}{\varepsilon_0 \omega}\rot{\vm{H}}
 \label{eq:E_from_H}
\end{align}
�ž� $\vm{E}$ �ϡ����� $\vm{H}$ �β�ž��׻����뤳�Ȥˤ�ä������롣

���оι�¤�ζ�ƶ���ͭ�����ǲ��Ϥ���ˤ����ꡢ�ޤ������׻����������о�
�ʤΤǡ������ $\theta$ ������ʬ�ΤߤǤ��롣�������äơ����μ���β�ž��
��������ž��
\begin{align}
 E_r &= -\frac{i}{\varepsilon_0 \omega}\pdiff{1}{H_{\theta}}{z} \label{eq:Ez_eq_rotH_r} \\
 E_z &= \frac{i}{\varepsilon_0 \omega}\frac{1}{r}\pdiff{1}{}{r}(rH_{\theta}) \label{eq:Ez_eq_rotH_z}
\end{align}
�Ȥʤ롣

ͭ������ˡ�Ǥϡ���\ref{fig:element_and_Ht} �˼����褦�ˡ����ѷ��ΰ��ĺ
���Ǽ��� $H_{\theta}$ ���ͤ�׻����롣�����3�Ĥμ��줫�顢��������ž�
$E_r$ �� $E_z$ ����ʤ��ƤϤʤ�ʤ����ޤ����ˡ��������Ǥ�դΰ��֤�
�μ����׻����뼰��Ƴ��������η׻��Ǥ��������1���Ƕ�����Ƥ���Τǡ�
������μ����
\begin{align}
 H_{\theta}(z,r) = \alpha + \beta z + \gamma r
 \label{eq:H_in_element}
\end{align}
�Ȥʤ롣����������μ�����ͤ��Ѥ��ơ��ΰ�����ž��׻����롣��
(\ref{eq:H_in_element}) �ˤ�꼰 (\ref{eq:Ez_eq_rotH_r}) ��
(\ref{eq:Ez_eq_rotH_z}) ��ɾ�������
\begin{align}
 E_r &= -\frac{i}{\varepsilon_0 \omega}\beta \label{eq:Er_in_element} \\
 E_z &= \frac{i}{\varepsilon_0 \omega}
 \left(\frac{\alpha + \beta z}{r} + 2\gamma\right) \label{eq:Ez_in_element}
\end{align}
��Ƴ�����Ȥ��Ǥ��롣�����μ���� $\alpha$��$\beta$��$\gamma$ �����
���Ȥ��Ǥ�����ž��׻����뤳�Ȥ��Ǥ��롣

�ޤ������ѷ���3�Ĥ�ĺ��������Ω�ļ��δط���ͤ��롣
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  1 & z_i & r_i \\
  1 & z_j & r_j \\
  1 & z_k & r_k
 \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}
  \alpha \\ 
  \beta  \\ 
  \gamma
 \end{bmatrix}
 =
 \begin{bmatrix}
  H_{\theta\,i} \\
  H_{\theta\,j} \\
  H_{\theta\,k}
 \end{bmatrix}
 \label{eq:H_at_vertex}
\end{align}
�����ǡ�$(z_i,\,r_i)$��$(z_j,\,r_j)$��$(z_k,\,r_k)$ �ϳ�ĺ���κ�ɸ��
$H_{\theta\,i}$��$H_{\theta\,j}$��$H_{\theta\,k}$ �Ϥ��ΰ��֤Ǥμ���ζ�
���Ǥ��롣����ϢΩ�������β�ϡ�
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  \alpha \\ 
  \beta  \\ 
  \gamma
 \end{bmatrix}
 =
 \begin{bmatrix}
  1 & z_i & r_i \\
  1 & z_j & r_j \\
  1 & z_k & r_k
 \end{bmatrix}^{-1}
 \begin{bmatrix}
  H_{\theta\,i} \\
  H_{\theta\,j} \\
  H_{\theta\,k}
 \end{bmatrix}
 \label{eq:cal_alpha_beta_gamma}
\end{align}
�Ȥ��Ʒ׻��Ǥ��롣����� $\alpha$��$\beta$��$\gamma$ �γƷ����������
����

\vspace{1cm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \includegraphics*[scale=0.5]{fig/element_H.eps}
  \caption{���ѷ����Ǥȳ�ĺ���Ǥμ���}
  \label{fig:element_and_Ht}
 \end{center}
\end{figure}

%####################################################################
\chapter{���ͷ׻�}
%####################################################################
%
%====================================================================
\section{�ץ������γ���}
%====================================================================
%
����θ���Ǥϡ�ͭ������ˡ���Ѥ��Ƽ��оΤβ�®��ƶ�������ż��줪��Ӷ���
���ȿ������ץ�������������������Ѥ�������ϡ�C++�Ǥ��롣

�ץ������ϡ��礭��ʬ���Ƽ���5�Ĥι����������äƤ��롣
\begin{quote}
 \begin{enumerate}
 \item �ΰ���γƻ��ѷ��κ�ɸ�䶭����������
 \item �����������ꤹ��
 \item ��ͭ�������򤭡���ͭ�ͤȼ�������
 \item ����β�ž��׻������ž�����
 \item �׻���̤���Ϥ���
 \end{enumerate}
\end{quote}

�ޤ����ܸ��漼�ǳ�ȯ���줿��å��奸���ͥ졼��������Ϥ����ե��������
�ߡ��׻��ΰ�ξ�������롣�����κ�ɸ�Ȥ��줬������狼�ɤ���������˻���
�����ɤ���������äƤ��뤫�Ȥ������Ȥ������Ǥ狼�롣

�����Ƥ��ξ�����Ȥ˷����������ꤹ�롣(\ref{eq:matrix_element_k_ii})
��(\ref{eq:matrix_element_m_ij}) ����׻����뤳�ȤǤ����Ԥ���

�������󤬷�ޤä��顢������Ѥ��Ƹ�ͭ�������򤭡���ͭ�ͤȼ����ʬ�ۤ�
�����롣�������ȿ��ϡ���ͭ�ͤ��狼��м��δط�
\begin{align}
 \left(\frac{\omega}{c}\right)^2 = \lambda
\end{align}
���
\begin{align}
 f = \frac{c}{2\pi}\sqrt{\lambda}
\end{align}
�ȵ����롣$c$ �ϸ���®�١�$c=299792458$ [m/s]�ˤǤ��롣

%####################################################################
\chapter{�׻����}
%####################################################################
%
�ܸ���Ǻ��������ץ��������Ѥ��ơ�KEK-PF�β�®��ƶ
~\cite{measurement_impedance}����Ϥ������ץ������Ƿ׻���Ԥ������
���������ȿ��ϡ�499.99MHz �Ǥ��ä����ºݤ�¬�ꤷ���ͤ� 499.5MHz �Ǥ��ä�
�Τǡ��褤���٤Ƿ׻��Ǥ��Ƥ��뤳�Ȥ��狼�롣

\vspace{1cm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \includegraphics*[scale=0.4]{fig/result_H_E.bmp}
  \caption{��ƶ����ż���}
  \label{fig:result_H_and_E}
 \end{center}
\end{figure}

��οޤϡ���ƶ����ż����ɽ���Ƥ��롣����ʬ�ۤ�����ζ����򼨤��Ƥ��ꡢ
�򤫤�����Ѳ�����ˤĤ�Ƽ��줬�夯�ʤäƤ��롣�ޤ������˿��ӤƤ������
�����ŵ������Ǥ��롣��°�ɤ��Ф��ƿ�ľ�ˤʤäƤ��뤳�Ȥ��ѻ��Ǥ��롣

%####################################################################
\chapter{�ͻ�}
%####################################################################
%
������������ץ������η׻����٤�Τ���뤿��ˡ���\ref{fig:cylinder} 
�ζ�ƶ���Ѥ������٤θ��ڤ�Ԥä���Ⱦ��1���⤵1�α��췿�ζ�����ƶ�Ǥ��롣
���ζ�ƶ�θ�ͭ�ͤβ��ϲ�ϴ�ñ�˵��뤳�Ȥ��Ǥ��������ͤ� 5.783185963 
�Ǥ��롣
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \includegraphics*[scale=0.4]{fig/cylinder.eps}
  \caption{������ζ�����ƶ}
  \label{fig:cylinder}
 \end{center}
\end{figure}

ɽ\ref{tbl:nodes_vs_error}�ˡ�������ȸ����δط��򼨤�����������¿������
�Ф���ۤɸ������ͤ��������ʤäƤ��ꡢ�������ΰ���¿���Ȥ����Ǹ����� 
$10^{-4}$ �ʲ����Ĥޤ� 0.01\% �ʲ��ˤʤäƤ��뤳�Ȥ��狼�롣�ޤ���������
�ȸ����δط��򥰥�ղ�������Τ��\ref{fig:nodes_vs_error}�˼��������Υ�
��դ��顢��������̵�¤����䤹���Ȥ��Ǥ���С�������0�Ȥʤ뤳�Ȥ��狼�롣
��������������¿���˱����ƻ��ѥ����̤��޷�������뤿�ᡢ���ѤǤ������
���������ϥ���ԥ塼������ǽ�˰�¸���롣�ޤ����׻��̤�������ȴݤ������
��礬�礭���ʤäƤ��뤿�ᡢ�����������䤷������ȸ������礭���ʤ��ǽ��
�����롣

\begin{table}[htbp]
 \caption{�������ȸ����Ȥδط�}
 \label{tbl:nodes_vs_error}
 \begin{center}
  \normalsize
  \begin{tabular}{cccc} \hline
   ������$^{-1}$ & ������ & ��ͭ�� & ���� \\ \hline
   0.000123 & 8125 & 5.78368 & 0.0000854 \\
   0.000127 & 7898 & 5.78373 & 0.0000941 \\
   0.000152 & 6562 & 5.78380 & 0.0001062 \\
   0.000180 & 5563 & 5.78391 & 0.0001252 \\
   0.000213 & 4703 & 5.78401 & 0.0001425 \\
   0.000254 & 3937 & 5.78416 & 0.0001684 \\
   0.000275 & 3634 & 5.78422 & 0.0001788 \\
   0.000549 & 1820 & 5.78529 & 0.0003638 \\
   0.000852 & 1174 & 5.78628 & 0.0005350 \\ \hline
  \end{tabular}
 \end{center}
\end{table} %

\begin{figure}[htbp]
 \begin{center}
  \includegraphics*[scale=0.8]{fig/nodes_vs_error.eps}
  \caption{�������ȸ����δط�}
  \label{fig:nodes_vs_error}
 \end{center}
\end{figure}

%####################################################################
\chapter{�ޤȤ�}
%####################################################################
%
1ǯ�ָ���˼���Ȥ����̤Ȥ��ơ��׻����٤� $10^{-4}$ ���٤Υץ�������
�Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ�����

����β���Ȥ��ơ��ޤ��׻����٤θ��夬�󤲤��롣��ɸ�ϡ�$10^{-6}$ ����
�Ǥ��롣���Τ���ˤϡ����ѷ����Ǥ�������2��������뤳�Ȥ䡢�����ץƥ���
��å�����Ѥ��뤳�Ȥʤɤ�ɬ�פǤ��롣

�ޤ����ʹ��Ȥ��갷���Ȥ��������ĤäƤ��롣���������ȤΤߤ򰷤äƤ�
���Τǡ��ʹ��������򤱤�褦�ˤʤ�Ф���˥ץ������α����ϰϤ�������
�Ǥ�������

%====================================================================
%======= ����ʸ�� ====================================================
\bibliographystyle{junsrt}
\bibliography{reference} 
%====================================================================
%####################################################################
\chapter*{�ռ�}
%\addcontentsline{toc}{�ռ�}
%####################################################################
����Ƴ���Ƥ������ä�ô�������λ��ܾ������������ޤ��ޤ��̤Ǥ����Ϥ��Ƥ���
�������칶�ʤβư����餵�󡢵����Ƹ㤵��˴��դΰդ�ɽ���ޤ���
%
%<<<<<<<<<<<<<<<<    ����ʹߤ���Ͽ    >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
%====================================================================
\appendix
%====================================================================
%
%####################################################################
\chapter{�׻��ץ������}
%####################################################################
%�����ˡ���ʸ�˽񤭤���ʤ��٤������Ȥʤɤ�񤯡�
%
\lgrindfile{src.tex}
%\verbatiminput{_femapp.cpp}
%====================================================================
%
\end{document}

