部分積分:
\begin{align} \def\pd#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\pdd#1#2{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2^2}} \int_\Omega v\pd{}{r}\left(ru_r\right)\diff\Omega =-\int_\Omega ru_r\pd{v}{r}\diff\Omega +\int_\Gamma vru_r n_r \diff\Gamma \label{eq:proved} \end{align}を証明します．
そのために，以下の式を使います．
\begin{align} \pd{}{r}\left(vru_r\right)=v\pd{}{r}\left(ru_r\right)+ ru_r\pd{u_r}{r} \end{align}この式を式\eqref{eq:proved}に適用すると，
\begin{align} \int_\Omega v\pd{}{r}\left(ru_r\right)\diff\Omega =&\int_\Omega \pd{}{r}\left(vru_r\right)\diff\Omega -\int_\Omega ru_r\pd{v}{r}\diff\Omega\label{eq:patial} \end{align}となります．この右辺第一項を変形するために，次にベクトル場: $\vm{F}=(vru_r, 0, 0)$を考えます．ガウスの発散定理: $\int_\Omega\div{\vm{F}}\diff\Omega=\int_\Gamma \vm{F}\cdot\vm{n}\diff\Gamma$ から
\begin{align} \int_\Omega \pd{}{r}\left(vru_r\right)\diff\Omega =&\int_\Omega \div{\vm{F}}\diff\Omega =\int_\Gamma \vm{F}\cdot\vm{n}\diff\Gamma =\int_\Gamma vru_r n_r \diff\Gamma \label{eq:gauss} \end{align}となります．ここで，$\vm{n}=(n_r, n_z)$は境界$\Gamma$の外向き単位法線ベクトルです．得られた式\eqref{eq:gauss}を式\eqref{eq:patial}に代入すると，式\eqref{eq:proved}が成り立つことがわかります．