4 軸対称問題

軸対称問題は、円柱座標系を使うのがセオリーである。この場合、磁石の形状は完全軸対 称で、電流は $\hat{\theta}$方向のみに流れる。そして、作られる磁場は$\hat{r}$と $\hat{z}$方向である。この場合、ベクトルポテンシャルを $\hat{\theta}$方向のみにと ることができる。従って、$H_r$と$H_z$を計算するより、$A_\theta$を計算して、その回 転から磁場を求める方が簡単である。

静磁場の汎関数は式(7)で示したとおりである。この式 にはベクトルポテンシャルの回転の演算が含まれる。円柱座標系の回転は、以前示したとおり、

$$\nabla\times \boldsymbol{A} = \left[\frac{1}{r} \if 11 \frac{\partial A_z}{\partial \theta} \... ...se \frac{\partial^{1} A_r}{\partial \theta^{1}}\fi \right] \hat{\boldsymbol{z}}$$ (12)

である。ここでは、ベクトルポテンシャルは$A_\theta$のみであるため

$$\nabla\times \boldsymbol{A} = \left[- \if 11 \frac{\partial A_{\theta}}{\partial z} \else \fr... ...frac{\partial^{1} }{\partial r^{1}}\fi (rA_{\theta})\right]\hat{\boldsymbol{z}}$$

$$=\left(- \if 11 \frac{\partial A_{\theta}}{\partial z} \else \fra... ...lse \frac{\partial^{1} A_\theta}{\partial r^{1}}\fi \right)\hat{\boldsymbol{z}}$$ (13)

となる。

この回転の結果を汎関数の式(7)に適用すると、

$$F[A_\theta] =\int\left[\frac{1}{2\mu}\left( \if 11 \frac{\partial A_{\theta}}... ...\partial^{1} A_\theta}{\partial r^{1}}\fi \right)^2 -j_\theta A_\theta\right]dV$$

$$=\int\left[\frac{1}{2\mu}\left( \if 11 \frac{\partial A_{\theta}}... ...c{1}{2\mu}\left(\frac{A_\theta}{r}\right)^2 -j_\theta A_\theta\right]2\pi rdrdz$$ (14)

となる。

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著者: 山本昌志