6 マクスウェルの方程式

[1] 微分形のマクスウェルの方程式を示せ.


微分形のマクスウェルの方程式は,以下の通りである.

  $\displaystyle \div{\boldsymbol{D}}=\rho$    
  $\displaystyle \div{\boldsymbol{B}}=0$    
  $\displaystyle \nabla\times \boldsymbol{E}=- \if 11 \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{B}}{\partial t^{1}}\fi$    
  $\displaystyle \nabla\times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{j}+ \if 11 \frac{\partial...
...bol{D}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{D}}{\partial t^{1}}\fi$    






[2] ガウスの定理とストークスの定理を使って,微分形のマクスウェルの方程式を積分形に書き改めよ.



微分形のマクスウェルの方程式は,

  $\displaystyle \div{\boldsymbol{D}}=\rho$    
  $\displaystyle \div{\boldsymbol{B}}=0$    
  $\displaystyle \nabla\times \boldsymbol{E}=- \if 11 \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{B}}{\partial t^{1}}\fi$    
  $\displaystyle \nabla\times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{j}+ \if 11 \frac{\partial...
...bol{D}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{D}}{\partial t^{1}}\fi$    

である.これらの式を

  $\displaystyle \int_V\div{\boldsymbol{A}}\mathrm{d}V=\int_S\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$   $\displaystyle ガウスの定理$    
  $\displaystyle \int_S\nabla\times \boldsymbol{A}\mathrm{d}S=\oint\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\ell$   $\displaystyle ストークスの定理$    

を使って,積分形に書き直す.

マクスウェルの方程式の1番目の式の両辺を体積積分を行い,ガウスの定理を使うと

  $\displaystyle \int_V\div{\boldsymbol{D}}\mathrm{d}V=\int_V\rho\mathrm{d}V$   ガウスの定理$\displaystyle \Rightarrow$   $\displaystyle \int_S\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S=\int_V\rho\mathrm{d}V$      

となり,積分形のガウスの法則が得られる.

同じことをマクスウェルの方程式の2番目の式に施すと

  $\displaystyle \int_V\div{\boldsymbol{B}}\mathrm{d}V=0$   ガウスの定理$\displaystyle \Rightarrow$   $\displaystyle \int_S\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S=0$      

が得られる.これが磁場に関する積分形のガウスの法則である.

次に,マクスウェルの方程式の番目の式に面積積分を行い,ストークスの定理を使うと

  $\displaystyle \int_S\nabla\times \boldsymbol{E}\mathrm{d}S=\int_S\left(- \if 11...
... \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{B}}{\partial t^{1}}\fi \right)\mathrm{d}S$   ストークスの定理$\displaystyle \Rightarrow$   $\displaystyle \int_C\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_S\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$      

が得られる.これは,積分形で表したファラデーの電磁誘導の法則である.

最後は,マクスウェルの方程式の4番目の式に同じようにストークスの定理を応用すると

  $\displaystyle \int_S\nabla\times \boldsymbol{H}\mathrm{d}S=\int_S\left(\boldsym...
... \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{D}}{\partial t^{1}}\fi \right)\mathrm{d}S$   ストークスの定理$\displaystyle \Rightarrow$   $\displaystyle \int_C\boldsymbol{H}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= \int_S\bold...
...frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_S\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$      

が得られる.これは,積分形のアンペール-マクスウェルの法則である.
ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志
Yamamoto Masashi
平成19年7月24日


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