9 課題

[1]
スカラー場 $ f(x,\,y,\,z)$があるとき,その勾配$ \nabla f$の各成分を 示せ.
[2]
位置ベクトル $ \boldsymbol{r}$のカーテシアン座標系の各成分を示せ.
[3]
位置ベクトル $ \boldsymbol{r}$の大きさの勾配を示せ.
[4]
$ \boldsymbol{A}=(a_x,\,a_y,\,a_z)$の時, $ \nabla\cdot\boldsymbol{A}$ $ \nabla\times\boldsymbol{A}$を示せ.
[5]
以下を確認せよ.

  $\displaystyle (a)$ $\displaystyle \hspace{3mm}$ $\displaystyle \nabla (\log r)=\frac{\boldsymbol{r}}{r^2} \hspace{70mm}$    
  $\displaystyle (b)$   $\displaystyle \div{\boldsymbol{r}}=3$    
  $\displaystyle (c)$   $\displaystyle \div{\left(\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\right)}=0$    
  $\displaystyle (d)$   $\displaystyle \nabla\times \boldsymbol{r}=0$    
  $\displaystyle (e)$   $\displaystyle \nabla\times (r^n\boldsymbol{r})=0$    
  $\displaystyle (f)$   $\displaystyle \nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)=0 %
$    

[6]
次のベクトル場は,図16のどれに対応するか分かるか?.ただし,分 かりやすくするために,ベクトルの大きさはスケールされている.

  $\displaystyle (a)$ $\displaystyle \hspace{3mm}$ $\displaystyle \boldsymbol{A}=\left(0,\,\frac{1}{1+x^2},\,0\right) \hspace{70mm}$    
$\displaystyle %
$ $\displaystyle (b)$   $\displaystyle \boldsymbol{A}=\left(x,\,y,\,0\right)$    
  $\displaystyle (c)$   $\displaystyle \boldsymbol{A}=\left(y,\,x,\,0\right)$    
  $\displaystyle (d)$   $\displaystyle \boldsymbol{A}=\frac{1}{r^2}\left(y,\,-x,\,0\right)$    
  $\displaystyle (e)$   $\displaystyle \boldsymbol{A}=\frac{1}{r}\left(y,\,-x,\,0\right)$    
  $\displaystyle (f)$   $\displaystyle \boldsymbol{A}=\frac{1}{r}\left(-x-y,\,x-y,\,0\right) %
$    

[7]
16のうち, $ \nabla\cdot\boldsymbol{A}=0$あるは $ \nabla\times\boldsymbol{A}=0$のものはどれか?. まずは,計算をしないで考えよ.その後,計算を行い確認せよ.この問題は,参考文献 [2]を参考にして作成.

図 1:
\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/fig1.eps}
図 2:
\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/fig2.eps}
図 3:


\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/fig3.eps}
図 4:


\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/fig4.eps}
図 5:


\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/fig5.eps}
図 6:


\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/fig6.eps}

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志
Yamamoto Masashi
平成19年5月9日


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