1 数値計算の基礎

[1]
テイラー展開の公式を導き出せ.そして,自分なりに理解せよ.公式を書 くだけではだめである.3〜4年生の数学の教科書に書かれているはずであ る.
[2]
問1の結果を利用して,関数$ f(x)$$ x=a$の周りでテイラー展開する式を示せ.
[3]
問1の結果を利用して,関数$ f(x)$$ x=0$の周りでテイラー展開する式を 示せ.これをマクローリン展開と言う.
[4]
問1の結果を利用して,関数 $ f(x+\Delta x)$$ x$の周りでテイラー展開 する式を示せ.
[5]
次の3つの関数を,$ x=0$の周りでテイラー展開,即ちマクローリン展開せ よ.以下の3つの関係は,どうなっているか考察せよ.

  $\displaystyle e^{x}=$    
  $\displaystyle \sin x=$    
  $\displaystyle \cos x=$    

[6]
テイラー展開の結果を利用して,$ \theta=31$[度]の時の $ \sin \theta$ $ \cos\theta$の値を小数点以下6桁の精度で求めよ.電卓を使っても良い が,三角関数の機能を使ってはならない.
[7]
以下の連立方程式を行列とベクトルで表現せよ.

$\displaystyle a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\cdots+a_{1N}x_N$ $\displaystyle =b_1$    
$\displaystyle a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\cdots+a_{2N}x_N$ $\displaystyle =b_2$    
$\displaystyle a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+\cdots+a_{3N}x_N$ $\displaystyle =b_3$    
$\displaystyle \vdots\hspace{30mm}$    
$\displaystyle a_{M1}x_1+a_{M2}x_2+a_{M3}x_3+\cdots+a_{MN}x_N$ $\displaystyle =b_M$    

[8]
以下の連立方程式を行列とベクトルで表現せよ.

$\displaystyle x_1+2x_2 -x_3+3x_4$ $\displaystyle =1$    
$\displaystyle -2x_1-3x_2 -5x_4$ $\displaystyle =2$    
$\displaystyle 2x_1+2x_2+3x_3+5x_4$ $\displaystyle =3$    
$\displaystyle -x_1+3x_2-12x_3$ $\displaystyle =4$    

[9]
前問の連立方程式の解と係数行列の逆行列を求めよ.解と逆行列は掃き出 し法を使うこと.

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志
Yamamoto Masashi
平成19年8月8日


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