3 電磁気学の基本法則

古典物理学の2つの柱は，ニュートン力学と電磁気学である．いずれもベクトルをつかっ た微分方程式が書かれることが多く，ニュートン力学では

$$\boldsymbol{F} =\frac{d\boldsymbol{p}}{dt}$$ (1)

$$\boldsymbol{p}=m\frac{d\boldsymbol{r}}{dt} m$$

$$=m\frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2}$$ (2)

となる．これが Newtonの運動の第2法則(Newton's Second Law of Motion)である．通常 はこれを積分して，運動を求めることになる²．

これに対して，電磁気学の法則は，

$$\begin{aligned}&\div\boldsymbol{D}=\rho &\qquad &\div\boldsymbo... ...{\partial^{1} \boldsymbol{B}}{\partial t^{1}}\fi =0 \end{aligned}$$

と書かれる4組の連立の微分方程式である．これをマクスウェルの方程式(Maxwell equations)という．ここで，

記号	物理量	単位	スカラー/ベクトル
$\boldsymbol{D}$	電束密度	[ $\mathrm{C/m^2}$]	ベクトル
$\boldsymbol{B}$	磁束密度	[T]あるは[ $\mathrm{Wb/m^2}$]	ベクトル
$\boldsymbol{H}$	磁場(の強さ)	[ $\mathrm{A/m}$]	ベクトル
$\boldsymbol{E}$	電場(の強さ)	[ $\mathrm{V/m}$]	ベクトル
$\rho$	電荷密度	[ $\mathrm{C/m^3}$]	スカラー
$\boldsymbol{j}$	電流密度	[ $\mathrm{A}/\mathrm{m^2}$]	ベクトル

である．こんなものはまだ理解する必要はない．この授業の最後で理解すべきものとなる． ただ，基本方程式というものがあることは分かって欲しい．

力学では，基本方程式が与えられてから，それを問題に適用することを学習する．それに 対して，ここでの電磁気学では，最後の方に基本方程式を導くことになる．力学の基本方 程式は，直感的にある程度理解できるので，最初に基本法則を教えるとが可能である．一 方，不幸なことに，電磁気学の基本式(3) は複雑で，直感的に理解 することは不可能である．そのため，基本式にたどり着く前に，いろいろと修行する方法 がとられる．

話は変わるが，電気回路のもっとも基本的な法則であるオームの法則やキルヒホッフの法 則もこのマクスウェルの方程式から，ある近似をして導くことができる．電気回路といえ ども電磁気的な現象なので，マクスウェルの方程式から計算できるのである．ただ，計算 が大変なので，近似であるオームの法則を使う．通常であれば，それで十分な精度を得る ことができる．流体力学でも，似たような話がある．分子の衝突の計算をしないで，流体 の方程式を計算するのと同じ状況にある．

おもしろいことに，回路の動作が高速になるとオームの法則ではだめな場合が生じている． 高速のCPUの設計にオームの法則ではなく，マクスウェルの方程式が使われることがある．

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志