7 波動方程式

[1]
自由空間中のマクスウェルの方程式を示せ。


自由空間では、電流や電荷はない。したがって、マクスウェルの方程式の中で、$ \rho=0$ $ \boldsymbol{j}=0$ とすればよい。すると、自由空間での電磁場を表すマクスウェルの方程式

  $\displaystyle \div{\boldsymbol{E}}=0$    
  $\displaystyle \div{\boldsymbol{B}}=0$    
  $\displaystyle \nabla\times \boldsymbol{E}+ \if 11 \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{B}}{\partial t^{1}}\fi =0$    
  $\displaystyle \nabla\times \boldsymbol{B}-\varepsilon_0\mu_0 \if 11 \frac{\part...
...{E}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{E}}{\partial t^{1}}\fi =0$    

が得られる。






[2]
自由空間中のマクスウェルの方程式から、以下の波動方程式を導け。

  $\displaystyle \nabla^2\boldsymbol{E}-\varepsilon_0\mu_0 \if 12 \frac{\partial \...
...{E}}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} \boldsymbol{E}}{\partial t^{2}}\fi =0$    
  $\displaystyle \nabla^2\boldsymbol{B}-\varepsilon_0\mu_0 \if 12 \frac{\partial \...
...{B}}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} \boldsymbol{B}}{\partial t^{2}}\fi =0$    



自由空間では、電流や電荷はない。したがって、マクスウェルの方程式は

  $\displaystyle \div{\boldsymbol{E}}=0$    
  $\displaystyle \div{\boldsymbol{B}}=0$    
  $\displaystyle \nabla\times \boldsymbol{E}+ \if 11 \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{B}}{\partial t^{1}}\fi =0$    
  $\displaystyle \nabla\times \boldsymbol{B}-\varepsilon_0\mu_0 \if 11 \frac{\part...
...{E}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{E}}{\partial t^{1}}\fi =0$    

となる。

この式のうち3番目のものの両辺に回転の演算子を作用させると、

0 $\displaystyle =\nabla\times \nabla\times \boldsymbol{E}+ \if 11 \frac{\partial ...
... t} \else \frac{\partial^{1} }{\partial t^{1}}\fi (\nabla\times \boldsymbol{B})$    
     マクスウェルの方程式の4番目の式)より    
  $\displaystyle =\nabla\times \nabla\times \boldsymbol{E}+\varepsilon_0\mu_0 \if ...
...bol{E}}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} \boldsymbol{E}}{\partial t^{2}}\fi$ (39)

となり、電場のみの式にできる。ここで、右辺第一項であるが、これはベクトル恒等式 $ \nabla\times \nabla\times \boldsymbol{A}=\nabla (\div{\boldsymbol{A}})-\nabla^2\boldsymbol{A}$ を使い、

0 $\displaystyle =\nabla (\div{\boldsymbol{E}})-\nabla^2\boldsymbol{E} +\varepsilo...
...bol{E}}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} \boldsymbol{E}}{\partial t^{2}}\fi$    
     マクスウェルの方程式の1番目の式より    
  $\displaystyle =-\nabla^2\boldsymbol{E}+\varepsilon_0\mu_0 \if 12 \frac{\partial...
...bol{E}}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} \boldsymbol{E}}{\partial t^{2}}\fi$    

と変形できる。これで、電場のみの式となった。

同様のことを磁場について行う。マクスウェルの方程式の4番目の式の両辺の回転の演算 子を作用させると

0 $\displaystyle =\nabla\times \nabla\times \boldsymbol{B}-\varepsilon_0\mu_0 \if ...
... t} \else \frac{\partial^{1} }{\partial t^{1}}\fi (\nabla\times \boldsymbol{E})$    
  $\displaystyle \qquad\qquad\nabla\times \nabla\times \boldsymbol{A}=\nabla (\div{\boldsymbol{A}})-\nabla^2\boldsymbol{A}$   とマクスウェルの方程式の3番目の式より    
  $\displaystyle =\nabla (\div{\boldsymbol{B}})-\nabla^2\boldsymbol{B} +\varepsilo...
...bol{B}}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} \boldsymbol{B}}{\partial t^{2}}\fi$    
     マクスウェルの方程式の2番目の式より    
  $\displaystyle =-\nabla^2\boldsymbol{B}+\varepsilon_0\mu_0 \if 12 \frac{\partial...
...bol{B}}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} \boldsymbol{B}}{\partial t^{2}}\fi$    

が得られる。

以上の操作により得られた電場と磁場の式を整理すると、

$\displaystyle \nabla^2\boldsymbol{E}-\varepsilon_0\mu_0 \if 12 \frac{\partial \...
...{E}}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} \boldsymbol{E}}{\partial t^{2}}\fi =0$    
$\displaystyle \nabla^2\boldsymbol{B}-\varepsilon_0\mu_0 \if 12 \frac{\partial \...
...{B}}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} \boldsymbol{B}}{\partial t^{2}}\fi =0$    

が得られる。
ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志
Yamamoto Masashi
2005-11-15


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