8 ラプラス演算子

ベクトル演算子同士の内積をとった結果、

$$\begin{aligned}\nabla\cdot\nabla &=\nabla^2 &=\left( \frac{\p... ...l^2}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2}{\partial z^2} \end{aligned}$$

の新しくできる演算子をラプラス演算子(ラプラシアン)と言う。$\nabla^2$の 代わりに$\Delta$と書くこともある。

これは、見て分かるようにスカラー演算子である。スカラー演算子であるため、 スカラーやベクトルに作用することができる。スカラー場$\phi$に作用すると、 次のようなスカラー場ができる。

$$\begin{aligned}\nabla^2\phi &=\left( \frac{\partial^2}{\partial... ...\partial y^2}+ \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} \end{aligned}$$

ベクトル場 $\boldsymbol{h}$に作用すると、次のようなベクトル場ができる。

$$\begin{aligned}\nabla^2 \boldsymbol{h} &=\left( \frac{\partial^... ...l y^2}+ \frac{\partial^2 h_z}{\partial z^2} \right) \end{aligned}$$

先にも述べたように、このように単純に計算できるのはカーテシアン座標系の場合に限ら れる。ほかの曲線座標系のラプラス演算子は複雑である。円柱座標系と球座標系について は、詳細は、私のwebページに載せている。

http://www.akita-nct.jp/~yamamoto/study/electromagnetics/laplacian/html/index.html

を参考にせよ。

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志