1 はじめに

実験やシミュレーションを行っていると $ (x_0,y_0), (x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$ のように,離散的にデータが得られるのは普通のことである.この得られた値から,任意 の$ x$ に対して$ y$ の値を推測しなくてはならないことがしばしば生じる.工学実験では曲 線定規を使って値を推測したが,ここでは計算機を用いて値を推測することを学習する.

値を計算するためには,$ y=f(x)$ を示す関数$ f$ を決めればよい.この関数の決め方には, いろいろな方法がある.計算機応用の講義では,2つの方法を学習する.

補間法
これは,離散的な点,全てを通過する関数を求め,値を推測する方法であ る(図1).データ数が多くなると,問題が生じるこ とがある.
最小2乗法
データをある特定の関数に近似して,値を推測する方法でである(図 2).通常,関数形を決めるパラメーターよりもデータ の数が多く,全てのデータを通る曲線が得られるわけではない.最も誤差が 少なくなるように,関数のパラメーターを決める.

図 1: 補間(ラグランジュ補間)
\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.6]{figure/lagrange.eps}
図 2: 最小2乗近似(2次関数)
\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.6]{figure/square_fit.eps}

今回の講義では,前者の補間法の学習する.補間法にもいろいろ有るが,ここでは最も基 本的なラグランジュ補間とスプライン補間について説明する.これらを学習した後,最小 2乗法について説明する.

一般的には,補間とは得られたデータの範囲内での値の推定のことを言う.それに対して, 範囲外の推定は補外と言う.2.例えば,図3のように$ (x_0,y_0)$$ (x_3,y_3)$ のデー タがあり,それらを通る曲線が得られたする.データの範囲$ [x_1,x_3]$ の推定を補 間,それ以外を補外と言う.ただし,どちらも同じ関数を用いる.

補間に比べて,補外の方が近似の精度が悪くなる場合が多い.このことは,証券価格のグ ラフを考えると良く分かる.本日までのデータを補間することはそんなに難しくないが, 明日以降の価格を推定することは極めて難しくなる.もし,良い精度で明日以降の価格が わかれば,大金持ちになれるであろう.

図 3: 補間と補外
\includegraphics[keepaspectratio,scale=1.0]{figure/hokan_hogai.eps}



ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志
Yamamoto Masashi
2005-12-21


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