2 非線型方程式の概要

ここでは、数値計算により方程式の解を求める方法を学習する。次の方程式

$$f(x)=0$$ (1)

の根$x$を求める。方程式の右辺がゼロでない場合は、左辺へ移項して 式(1)の形にできる。

具体的な問題で、これを考える。たとえば、方程式

$$x^3-3x^2+9x-8=0$$ (2)

の根を求める。これの解析解を求めるのは、ほとんど不可能であろう。こらえ 性のない私なんかは、すぐにコンピューターで計算を始めます。ここでは、コ ンピューターでこれの根を求める方法を学習する。ちなみにこの方程式の根は、

$$x_1=1-2\left[\frac{2}{1+\sqrt{33}}\right]^{1/3}+ \left[\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{33}\right)\right]^{1/3}$$ (3)

$$x_2=1+(1+\sqrt{3}i)\left[\frac{2}{1+\sqrt{33}}\right]^{1/3}- \frac{1}{2}(1-\sqrt{3}i) \left[\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{33}\right)\right]^{1/3}$$ (4)

$$x_2=1+(1-\sqrt{3}i)\left[\frac{2}{1+\sqrt{33}}\right]^{1/3}- \frac{1}{2}(1+\sqrt{3}i) \left[\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{33}\right)\right]^{1/3}$$ (5)

と分かっている²。それにしても、これらの根は良く似ている。不思議なものである。 複素平面で考えると、これらが似ているのも分かるような気がする。

ここでは数値計算法により、実数解、すなわち$x_1$を求める。むろん、複素 数解を求めることも可能であるが、少し難しくなる。実際に、プログラムを作 成する前に、実数解の近似値を求めておく。それは、

$$x_1\simeq 1.1659055841222127171\cdots$$ (6)

となる。

式(2)は3次方程式であるが、ここで用いる数値計算の テクニックで解ける問題はべき乗の多項式とは限らない。計算に用いれる領域 が連続であれば、どんな方程式でも解ける。三角関数や指数関数、分数の形で も関係なく解ける。

実際には、次の4通りの計算テクニック示す。

1. 2分法
2. ニュートン-ラフソン法(ニュートン法)
3. はさみうち法
4. 割線法(セカント法)

いずれの方法も、$y= f(x)$のx軸と交わる点、即ち$f(x)=0$を反復(ループ)計 算を用いて探している。式(2)であれば、 $f(x)=x^3-3x^2+9x-8$として計算する。この関数を図 1にしめす。先の4通りの方法で、図 1のx軸との交点を計算するのである。

図 1: $f(x)=x^3-3x^2+9x-8$の関数。x軸との交点が解である。

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著者: 山本昌志