3 基数の変換(2,10,16進数)

• いろいろな数の表記方法があります。N進数の場合、次のようにN個の 底で数を表現します。
  
  
  

  2進数	0,1
  10進数	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
  16進数	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

  
  
  
• 桁上がりは、2進数の場合1の次で10に、10進数の場合9の次で10に、16 進数の場合Fの次で10になります。
• 我々が通常用いている数の表現の意味は、次の通りです。数字の並ぶ 順序が重要です。これを「位取り記数法」と言います。

  $$(1905)_{10}=(1\times 10^3+9\times 10^2+0\times 10^1+5\times 10^0)_{10}$$

  
  

• 基数の変換(2→10進数)。通常の位取り記数法が理解できれば、簡単です。

  $$(1101)_2 =(1\times10^{11}+1\times 10^{10}+0\times 10^{1}+1\times 10^{0})_2$$

  $$=(1\times 2^3+1\times 2^2+0\times 2^1+1\times 2^0)_{10} \qquad\leftarrow$$

  $$=(8+4+0+1)_{10} \qquad\leftarrow$$

  $$=(13)_{10}$$

  
  

• 2進数の各桁の10進数の値(重み)を覚えておくと便利です。

  $$1,\,2,\,4,\,8,\,16,\,32,\,64,\,128,\,256,\,512,\,1024,\,2048,\,4096$$

  
  

• 基数の変換(10 $\rightarrow$2進数)。2で割った余りを並べます。変換方法の例を、 以下に示します。
  $(19)_{10}=(10011)_2,\quad(2003)_{10}=(11111010011)_2$ です。

  図 2: 10進数から2進数への変換方法。

  
• 基数の変換(16 $\rightarrow$10進数)。これも、2進数と同じです。

  $$(376)_{16} =(3\times 10^2+7\times 10^1+6\times 10^0)_{16}$$

  $$=(3\times 16^2+7\times 16^1+6\times 16^0)_{10}$$

  $$=(3\times 256+7\times 16+6\times 1)_{10}$$

  $$=(886)_{10}$$

  
  

• 基数の変換(2→16進数)。2進数の各桁を、最小桁から4桁ずつ区切り、 それぞれを16進数に変換します。

  図 3: 2進数から16進数への変換方法。

  
• 桁数が合わない場合は、先頭に必要なだけゼロを書き足して考えます。 例えば、 $(101100)_2 =(00101100)_2=(2\texttt{C})_{16}$ となります。
• 基数の変換(16 $\rightarrow$2進数)。16進数の各桁を(1, 2, 4, 8)の 和に展開して、それぞれのビットに対応させます。

  図 4: 16進数から2進数への変換方法。

  
• 基数の変換(10 $\rightarrow$16進数)。2つの方法があります。
  1. 一旦、2進数へ変換した後、16進数へ変換する。 $\qquad\leftarrow$おすすめ
  2. 16で割って、その余りが各桁になる。

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著者: 山本昌志